Loi de composition interne

pour tout $(A, B) \in \mathcal{P}(E)^2$, $A \Delta B$ est une réunion de sous-ensembles de $E$, donc $A \Delta B \in \mathcal{P}(E)$.
est donc une loi de composition interne.

Associativité

Pour montrer l'associativité, on peut utiliser la fonction indicatrice $\mathbb{1}_A$.
On montre aisément que : \[ \mathbb{1}_{A \Delta B} = \mathbb{1}_A + \mathbb{1}_B \pmod 2 \] Dès lors, pour tous $A, B, C$ dans $\mathcal{P}(E)$ : \[ \begin{align*} \mathbb{1}_{(A \Delta B) \Delta C} &= (\mathbb{1}_A + \mathbb{1}_B) + \mathbb{1}_C \pmod 2 \\ &= \mathbb{1}_A + (\mathbb{1}_B + \mathbb{1}_C) \pmod 2 \\ &= \mathbb{1}_{A \Delta (B \Delta C)} \end{align*} \] On en déduit: \[ (A \Delta B) \Delta C = A \Delta (B \Delta C) \]

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2. Détermination de l'élément neutre

Il est aisé de voir que pour tout sous ensemble X de E on a :
$(\emptyset ~ \Delta X=X,~)~$ et en outre $(~\emptyset\in \mathcal P(E))$.
Et donc:
$\emptyset$ est l'élément neutre pour $\Delta$

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3. Structure de groupe commutatif

Pour montrer que $(\mathcal{P}(E), \Delta)$ est un groupe commutatif, il reste à vérifier l'existence d'un symétrique pour chaque élément :

• Pour tout $A \in \mathcal{P}(E)$, on a: $$A \Delta A = (A \setminus A) \cup (A \setminus A)=\emptyset \cup \emptyset=\emptyset$$ Et donc: $$ A\Delta A = \emptyset$$ Tout élément $A$ est donc son propre symétrique.
  Par conséquent:
  $(\mathcal{P}(E), \Delta)$ est un groupe commutatif.

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4. Résolution de l'équation $A \Delta X = Y$

La structure de groupe De $(\mathcal{P}(E), \Delta)$ assure l'existence d'une solution unique à cette équation:
En effet: \begin{align*} A \Delta X &= Y\\ A\Delta (A\Delta X) &=A \Delta Y\\ (A\Delta A)\Delta X &=A \Delta Y\\ \emptyset ~\Delta ~ X&= A\Delta Y\\ X&=A\Delta Y\\ \end{align*} Soit: $$X = A \Delta Y$$