1. Montrons que $f$ et $g$ sont bijectives

• Cas de $~f~$ :
Soit $y \in G$. montrons qu'il existe un unique $~x\in G~$ tel que: $$f(x) = y$$ En effet: \[ a \ast x = y \iff x = a^{-1} \ast y \] L'élément $~x=a^{-1} \ast y~$ existe et est unique dans $~G~$.
Donc $~f~$ est bijective.


• Cas $~g~$ :
Le même raisonnement s'applique et tout élément y dans G admet un unique antécédant $~x=y\ast a^{-1}~$.
$g$ est ainsi bijective.

2. Commutativité du groupe $G$

1. Par hypothèse, pour tout $(x, y, z) \in G^3$ : \[ x \ast y \ast z = y \ast z \ast x \]
2. Soit $e$ l'élément neutre de $(G, \ast)$. Appliquons cette relation en choisissant $z = e$ : \begin{align*} x \ast y \ast e &= y \ast e \ast x \\ x \ast y &= y \ast x \end{align*}
3. Cette égalité étant vérifiée pour tout couple $(x, y) \in G^2$, le groupe $(G, \ast)$ est commutatif.