1. Stabilité de $\mathbb{M}$ pour la multiplication

• Soient $M_{\alpha}$ et $M_{\beta}$ deux éléments de $\mathbb{M}$. Effectuons le produit :
\[ \begin{align*} M_{\alpha} \times M_{\beta} &= \begin{pmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha \\ \sin\alpha & \cos\alpha \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos\beta & -\sin\beta \\ \sin\beta & \cos\beta \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta & -(\cos\alpha\sin\beta + \sin\alpha\cos\beta) \\ \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta & \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \cos(\alpha+\beta) & -\sin(\alpha+\beta) \\ \sin(\alpha+\beta) & \cos(\alpha+\beta) \end{pmatrix} \end{align*} \]
• On obtient: $$M_{\alpha} \times M_{\beta} = M_{\alpha+\beta}$$ $(\alpha+\beta) \in \mathbb{R}~,~$, et donc: $~M_{\alpha+\beta} \in \mathbb{M}$.
$\mathbb{M}$ est donc stable pour la multiplication.

2. Étude de $(\mathbb{U}, \times)$

1. Stabilité : Soient $e^{i\alpha}$ et $e^{i\beta}$ dans $\mathbb{U}$. Leur produit $e^{i\alpha} \times e^{i\beta} = e^{i(\alpha+\beta)}$ appartient à $\mathbb{U}$ car $(\alpha+\beta) \in \mathbb{R}$.
2. Sous-groupe :
   • $\mathbb{U} \subset \mathbb{C}^*$ et $1 = e^{i0} \in \mathbb{U}$ (non vide).
   • Soient $z_1 = e^{i\alpha}$ et $z_2 = e^{i\beta}$ dans $\mathbb{U}$.
   \[ z_1 \times z_2^{-1} = e^{i\alpha} \times e^{-i\beta} = e^{i(\alpha-\beta)} \]
   • Comme $(\alpha-\beta) \in \mathbb{R}$, alors $~z_1 \times z_2^{-1} \in \mathbb{U}$.
   • $(\mathbb{U}, \times)$ est donc un sous-groupe de $(\mathbb{C}^*, \times)$.

3. Morphisme et structure de $\mathbb{M}$

1. Morphisme surjectif :
   • Soient $e^{i\theta}$ et $e^{i\alpha}$ dans $\mathbb{U}$ :
   \[ f(e^{i\theta} \times e^{i\alpha}) = f(e^{i(\theta+\alpha)}) = M_{\theta+\alpha} \]
   • Or, d'après la question 1, $M_{\theta} \times M_{\alpha} = M_{\theta+\alpha}$. Donc $f(e^{i\theta} \times e^{i\alpha}) = f(e^{i\theta}) \times f(e^{i\alpha})$.
   • Par définition de $\mathbb{M}$, tout élément $M_{\alpha}$ possède au moins un antécédent $e^{i\alpha}$ par $f$.
   • $f$ est un morphisme surjectif.
2. Structure de groupe :
   • L'image d'un groupe par un morphisme surjectif est un groupe.
   • $(\mathbb{U}, \times)$ est un groupe commutatif, donc son image $(\mathbb{M}, \times)$ est un groupe commutatif.