1) Étude de la commutativité et de l'associativité

• Commutativité :
  Soient $x$ et $y$ deux éléments de $\mathbb{R}_+^*$.
  On a $x * y = \sqrt[3]{x^3 + y^3}$ et $y * x = \sqrt[3]{y^3 + x^3}$.
  Comme l'addition est commutative dans $\mathbb{R}$, on a $x^3 + y^3 = y^3 + x^3$, d'où : \[ x * y = y * x \] La loi $*$ est donc commutative dans $\mathbb{R}_+^*$.


• Associativité :
  Soient $x, y$ et $z$ trois éléments de $\mathbb{R}_+^*$.
  D'une part : \[ (x * y) * z = \sqrt[3]{(x * y)^3 + z^3} = \sqrt[3]{(\sqrt[3]{x^3 + y^3})^3 + z^3} = \sqrt[3]{x^3 + y^3 + z^3} \] D'autre part : \[ x * (y * z) = \sqrt[3]{x^3 + (y * z)^3} = \sqrt[3]{x^3 + (\sqrt[3]{y^3 + z^3})^3} = \sqrt[3]{x^3 + y^3 + z^3} \] On constate que $(x * y) * z = x * (y * z)$.
  La loi $*$ est donc associative dans $\mathbb{R}_+^*$.

2) Existence d'un élément neutre

Supposons qu'il existe un élément neutre $e \in \mathbb{R}_+^*$.
Il doit vérifier, pour tout $x \in \mathbb{R}_+^*$ : $$x * e = x$$ \[ \sqrt[3]{x^3 + e^3} = x \iff x^3 + e^3 = x^3\] Et donc: $$e=0$$ Or, $~0 \notin \mathbb{R}_+^*$.
Par conséquent, la loi $~*~$ n'admet pas d'élément neutre dans $\mathbb{R}_+^*$.

3) Calcul de la composition itérée

• Soient $n \in \mathbb{N}^*$ et $a \in \mathbb{R}_+^*$. Calculons $A_n = \underbrace{a * a * \dots * a}_{n \text{ fois}}$.
• Pour $n=1$ : $A_1 = a$.
• Pour $n=2$ : $A_2 = a * a = \sqrt[3]{a^3 + a^3} = \sqrt[3]{2a^3}$.
• Pour $n=3$ : $A_3 = (a * a) * a = \sqrt[3]{2a^3 + a^3} = \sqrt[3]{3a^3}$.
• Par récurrence immédiate, on conjecture que : \[ A_n = \sqrt[3]{\sum_{i=1}^{n} a^3} = \sqrt[3]{n a^3} \]
• D'où le résultat final : \[ \underbrace{a * a * \dots * a}_{n \text{ fois}} = a\sqrt[3]{n} \]

Autre méthode pour la question 3:

• $f$ est bijective
• $f(x\ast y)=f(x)+f(y)$
• Déduire: $$f(\underbrace{a\ast a\cdots \ast a}_{n \text{ fois}})=nf(a)=na^3$$ Et puis: $$\underbrace{a\ast a\cdots \ast a}_{n \text{ fois}}=f^{-1}(na^3)$$ Par conséquent: $$\underbrace{a\ast a\cdots \ast a}_{n \text{ fois}}=a\sqrt[3] n $$