1. Stabilité de la loi dans $E$

• Soient $x, y \in ]-1 ; 1[$. Nous devons montrer que $-1 < \frac{x+y}{1+xy} < 1$.
Étudions le signe de: $~~1 - (\frac{x+y}{1+xy})^2$ \begin{align*} 1 - \left(\frac{x+y}{1+xy}\right)^2 &= \frac{(1+xy)^2 - (x+y)^2}{(1+xy)^2}\\\\ 1 - \left(\frac{x+y}{1+xy}\right)^2&= \frac{1+x^2y^2+2xy - (x^2+y^2+2xy)}{(1+xy)^2}\\\\ 1 - \left(\frac{x+y}{1+xy}\right)^2 &= \frac{1 - x^2 - y^2 + x^2y^2}{(1+xy)^2}\\\\ 1 - \left(\frac{x+y}{1+xy}\right)^2& = \frac{(1-x^2)(1-y^2)}{(1+xy)^2} \end{align*} Puisque: $~x, y \in ]-1 ; 1[$, alors: $~x^2 < 1~~$ et $~~y^2 < 1~$.
Donc: $~(1-x^2) > 0~~$ et $~~(1-y^2) > 0$.
Le numérateur et le dénominateur étant strictement positifs, on en déduit : \[ 1 - \left(\frac{x+y}{1+xy}\right)^2 > 0 \implies \left(\frac{x+y}{1+xy}\right)^2 < 1 \] Ainsi, $\left| \frac{x+y}{1+xy} \right| < 1,~$
Ce qui prouve que $~x \mathbb{T} y \in E$.
$\Bbb T~$ est donc une loi de composition interne.

2. Commutativité et Associativité

• Commutativité :
  L'expression $~\frac{x+y}{1+xy}~$ est symétrique en $~x~$ et $~y~$ par commutativité de l'addition et de la multiplication dans $\mathbb{R}$.
  Donc: $$x \mathbb{T} y = y \mathbb{T} x$$


• Associativité : Soient $x, y, z \in E$. Calculons $(x \mathbb{T} y) \mathbb{T} z$ : \[ (x \mathbb{T} y) \mathbb{T} z = \frac{\frac{x+y}{1+xy} + z}{1 + \frac{x+y}{1+xy}z} = \frac{\frac{x+y+z+xyz}{1+xy}}{\frac{1+xy+xz+yz}{1+xy}} = \frac{x+y+z+xyz}{1+xy+xz+yz} \]
L'expression obtenue est invariante par permutation circulaire de $(x, y, z)$.
Il s'en suit par permutations de $~(x,y,z)~$ que: $$ (x ~\mathbb{T}~ y) ~\mathbb{T}~ z = (y~ \mathbb{T}~ z)~ \mathbb{T} x$$ En utilisant la commutativité on obtient: $$(y ~\mathbb{T} ~ z) ~\mathbb{T} x=x ~\Bbb T~ (y~\Bbb T~ z)$$ On en déduit: $$ (x ~\Bbb T~ y)~\Bbb T~ z= x ~\Bbb T~ (y~\Bbb T~ z)$$ La loi $~\Bbb T~$ est donc associative.

• Élément neutre :
  Il est immédiat de voir que pour tout $~x\in I~$: $$x~\Bbb T ~ 0=x$$ puisque $~0\in I~$, c'est donc l'élément neutre pour $~ \Bbb T~$


• Élément symétrique : On cherche $x' \in E$ tel que $x \mathbb{T} x' = 0$. \[ \frac{x+x'}{1+xx'} = 0 \iff x+x' = 0 \iff \mathbf{x' = -x} \] Comme $x \in ]-1 ; 1[$, alors $-x$ appartient aussi à $E$.


• Conclusion : $(E, \mathbb{T})$ est un groupe commutatif.