1. Stabilité de la loi dans $I$

• Soient $x, y \in ]1 ; +\infty[$. Nous devons montrer que $x \bot y \in ]1 ; +\infty[$.
• Remarquons que l'expression sous la racine peut se factoriser : \[ x^2y^2 - x^2 - y^2 + 2 = (x^2 - 1)(y^2 - 1) + 1 \]
• Puisque $x > 1$ et $y > 1$, nous avons $x^2 > 1$ et $y^2 > 1$, d'où $(x^2 - 1) > 0$ et $(y^2 - 1) > 0$.
• Le produit $(x^2 - 1)(y^2 - 1)$ est donc strictement positif.
• Il s'ensuit que $(x^2 - 1)(y^2 - 1) + 1 > 1$.
• La fonction racine carrée étant strictement croissante sur $\mathbb{R}^+$, on en déduit : \[ \sqrt{(x^2 - 1)(y^2 - 1) + 1} > \sqrt{1} = 1 \]
• Ainsi, $x \bot y$ appartient bien à $I$.
  $~\bot~$ est bien une loi de composition interne dans $I$.

2. Commutativité et Associativité

• Commutativité :
  Pour tous $x, y \in I$ : \[ x \bot y = \sqrt{x^2y^2 - x^2 - y^2 + 2} \] \[ y \bot x = \sqrt{y^2x^2 - y^2 - x^2 + 2} \] on a donc: $$x \bot y = y \bot x$$ $\bot~$ est donc commutative


• Associativité :
  Pour tous $x, y, z \in I$, calculons $(x \bot y) \bot z$ :
  Posons $u = x \bot y = \sqrt{(x^2-1)(y^2-1)+1}$. Alors $u^2-1 = (x^2-1)(y^2-1)$. \[ (x \bot y) \bot z = u \bot z = \sqrt{(u^2-1)(z^2-1)+1} \] \[ (x \bot y) \bot z = \sqrt{(x^2-1)(y^2-1)(z^2-1)+1} \qquad (*)\] Et vu que la formule $~(*)~$ est invariante par permutation circulaires des paramètres (x,y,z) alors: $$(x\bot y)\bot z=(y\bot z)\bot x$$ Et par commutativité: $$(y\bot z)\bot x=x\bot (y\bot z)$$ Ce qui implique: $$(x\bot y)\bot z=x\bot (y\bot z)$$ $\bot~$ est bien associative

3. Élément neutre

• On cherche $~e \in I~$ tel que pour tout $~x \in I$, on a: $$~x \bot e = x$$
• Ceci implique : \begin{align*} \sqrt{x^2e^2 - x^2 - e^2 + 2} &= x\\ x^2e^2 - x^2 - e^2 + 2 &= x^2 \\ x^2(e^2 - 1) - (e^2 - 1) + 1 &= x^2\\ (x^2 - 1)(e^2 - 1) + 1 &= x^2 \\ (x^2 - 1)(e^2 - 1) &= x^2 - 1 \\ \end{align*}
Puisque: $x^2 - 1 >0 $. alors : \[ e^2 - 1 = 1 \implies e^2 = 2 \] Par conséquent: $~e=\sqrt 2~~$ car $~~e > 1$
• $e=\sqrt 2$ est l'élément neutre pour la loi $~\bot~$ dans $~I$.

4. Eléments symétriques

• Soit $x \in I = ]1 ; +\infty[$. On cherche $~x' \in I~$ tel que : \[ x \bot x' = \sqrt{2} \] Ce qui équivaut à: \[ x^2x'^2 - x^2 - x'^2 + 2 = 2 \] Ou encore: \[ x^2x'^2 - x^2 - x'^2 = 0 \] Soit: \[ x'^2 = \frac{x^2}{x^2 - 1} \]
• Factorisons pour isoler $x'$ : \[ x'^2(x^2 - 1) = x^2 \] $x > 1~$, alors $~x^2 - 1 > 0~$, donc le quotient est bien défini et positif.
  Donc: $$x'=\frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}}>1$$ Car: $~~x=\sqrt {x^2}>\sqrt{x^2-1}$
  Par conséquent: $~~x'~$ est dans $~I~$ Toute élément $~x~$ dans $$ admet élément symétrique x' dans $I$~.

Conclusion sur la structure

On en déduit que $~(I, \bot)~$ est un groupe commutatif (aussi, dit abélien).