1. Commutativité et Associativité

• Commutativité :
  Soit $(x, y) \in \mathbb{Z}^2$.
  $x \ast y = x + y - 2$
  $y \ast x = y + x - 2$
  Comme l'addition est commutative dans $\mathbb{Z}$, on a $x + y = y + x$.
  D'où : $x \ast y = y \ast x$. La loi $\ast$ est commutative.
  
  
• Associativité :
  Soit $(x, y, z) \in \mathbb{Z}^3$.
  D'une part :
  \begin{align*} (x \ast y) \ast z &= (x + y - 2) \ast z\\ (x \ast y) \ast z&= (x + y - 2) + z - 2\\ (x \ast y) \ast z&= x\ast y +z-2 \\ (x \ast y) \ast z&=(x\ast y)\ast z \end{align*} La loi $~\ast~$ est donc associative.

2. Élément neutre

• On a:
  $x \ast e = x \iff x + e - 2 = x$
  Et donc:
  $x \ast e = x \iff e = 2$
  Comme $~2 \in \mathbb{Z}$, alors il est l'élément neutre pour la loi $~\ast$

3. Éléments symétriques

• Soit $~x \in \mathbb{Z}$. Un élément $~x'~$ est le symétrique de $~x~$ pour la loi $~\ast~$ si : $$x \ast x' = e$$ $x \ast x' = 2 \iff x + x' - 2 = 2$
  $x \ast x' = 2 \iff x' = 4 - x$
  $x'=(4 - x)\in \Bbb Z~$ appartient également à $\mathbb{Z}~$ est le le symétrique de x pour la loi $~\ast$

Note : Ces trois propriétés confèrent à $(\mathbb{Z}, \ast)$ une structure de groupe commutatif.