1. Ătude de la loi $\ast$ dans $E = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$
- Table de la loi $\ast$ :
La loi est définie par:
$$a \ast b \equiv ab \pmod{6}$$
\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \ast & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline 1 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline 2 & 0 & 2 & 4 & 0 & 2 & 4 \\ \hline 3 & 0 & 3 & 0 & 3 & 0 & 3 \\ \hline 4 & 0 & 4 & 2 & 0 & 4 & 2 \\ \hline 5 & 0 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1 \\ \hline \end{array} \] - Commutativité :
La loi est évidemment commutative car pour tout $~~(a,b) \in E^2$, (découle du fait que: $~ab=ba~$). Par conséquent la table est symétrique par rapport à la diagonale principale. - Diviseurs de zéro :
L'implication: $$a \ast b = 0 \implies (a=0 \text{ ou } b=0)$$ est fausse
Contre exemples:
$~(~2 \ast 3 = 0~)\qquad $ et $\qquad (~3 \ast 4 = 0~)~,~$ bien que $~~2, 3, 4 ~~$ soient différents de $~0.$ - Résolution de l'équation $a \ast x = b$ :
L'Ă©quation n'admet pas toujours de solution.
Exemple 1: $2 \ast x = 1$ n'a pas de solution dans $~E~$ (le reste de $2x$ par $6$ etant toujours pair).
Exemple 2: Quand elle existe, la solution n'est pas toujours unique. cas de l'Ă©quation: $~(~3 \ast x = 3~)$ qui admet pour solutions $\{1, 3, 5\}$.
2. Ătude de la loi $\bot$ dans $E' = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$
- Table de la loi $\bot$ (Modulo 7) :
\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \bot & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline 1 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline 2 & 2 & 4 & 6 & 1 & 3 & 5 \\ \hline 3 & 3 & 6 & 2 & 5 & 1 & 4 \\ \hline 4 & 4 & 1 & 5 & 2 & 6 & 3 \\ \hline 5 & 5 & 3 & 1 & 6 & 4 & 2 \\ \hline 6 & 6 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1 \\ \hline \end{array} \] - Commutativité :
La loi est commutative pour les mĂȘmes raisons que prĂ©cĂ©demment $~(~ab = ba~)$. - Diviseurs de zĂ©ro :
Puisque $7$ est un nombre premier, si $7$ divise $ab$, alors $7$ divise $a$ ou $7$ divise $b$ (Lemme de Gauss). Dans $E'$, aucun élément n'est un multiple de $7$. L'implication est donc vraie (bien que le résultat $0$ n'appartienne pas à $E'$ ici). - Existence et unicité :
Dans ce cas (corps $\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$ sans le zéro), l'équation $a \bot x = b$ admet toujours une solution unique. En effet, chaque ligne et chaque colonne de la table contient exactement une fois chaque élément de $E'$. Tout élément de $E'$ possÚde un symétrique pour la loi $\bot$.