Solution Exercice S1 - Exercice Corrigé Math Bac & High School

1. La division n'est pas une loi de composition interne sur $~~\Bbb Z^*$.
  En effet, le quotient de deux nombres relatifs n'est pas toujours un nombre relatif.
2. Le quotient de deux rationnels est un rationnel.
  En effet:
  Pour $~~x=\dfrac{a}{b}~~$ et $~~y=\dfrac{c}{d}~~$, où $\left((a,c);(b,d)\right)\in(\Bbb Z^*)^2\times(\Bbb N^*)^2$, on a: \[\dfrac{x}{y}~=~\dfrac{a}{b}\times\dfrac{d}{c}~=~\dfrac{ad}{bc}\in\Bbb Q^*.\] Donc, la division est une loi de composition interne dans $\Bbb Q^*$
$\Bbb R~$ et $~\Bbb Z~$ sont stables par addition et par multiplication, donc $~\star~$ est une loi de composition interne sur ces deux ensembles.
Vérifions maintenant si c'est le cas sur $\Bbb R\setminus\{-1\}$.
Soient $~a~$ et $~b~$ deux réels différents de $~-1$. Supposons que $a\star b=-1$, on a donc: \[a+b+ab=-1\iff ~(a+1)(b+1)=0\] Ce qui équivaut à: $$a=-1\quad \text{où}\quad b=-1.$$ Ce qui est impossible.
Ainsi $~~a\star b\in\Bbb R\setminus\{-1\}~,~$ ce qui prouve que $~\star~$ est bien une loi de composition interne sur $\Bbb R\setminus\{-1\}$.