L'ensemble F est défini par: $$F = \{M \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R}) \mid AM = MA = M\}$$
\(F\) est un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel
    \[ A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}. \] On vérifie que \(A^2 = I_3\) (matrice de permutation échangeant les lignes 1 et 3).
  • StabilitĂ© par combinaison linĂ©aire
    Soient \(M, N \in F\) et \(\lambda, \mu \in \mathbb{R}\).
    Par définition : $$AM = MA = M\qquad et \qquad AN = NA = N$$ Alors : \[ \begin{aligned} A(\lambda M + \mu N) &= \lambda AM + \mu AN = \lambda M + \mu N, \\ (\lambda M + \mu N)A &= \lambda MA + \mu NA = \lambda M + \mu N. \end{aligned} \] Donc \(\lambda M + \mu N \in F\).

  • ÉlĂ©ment neutre
    La matrice nulle \(0\) vérifie: $$A0 = 0A = 0$$ Donc: \(~~0 \in F\).

  • Conclusion
    \(F\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathcal{M}_3(\mathbb{R})\).
Matrices inversibles
    Supposons qu'il existe une matrice $~~M \in F~~$ qui soit inversible.
    Il existe alors, $~~M' \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})~$ (l'inverse de $M$) telle que : $$MM' = I_3 \qquad (1)$$
    En multipliant l'égalité (1) par $~A~$ à gauche : \[ A(MM') = A I_3. \] Puisque $~~M \in F~$, on a $~AM = M~$.
    Donc : $$M M' = A\qquad (2)$$ En comparant (1) et (2) il vient: \[ I_3 = A. \] Contradiction!. donc aucune matrice de \(~F~\) n'est inversible
  • CaractĂ©risation des Ă©lĂ©ments de $~F~$ :
    Posons: $$M=\begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}$$ Calculons $AM$ et $MA$ pour $M \in F$ :
    \[ AM = \begin{pmatrix} g & h & i \\ d & e & f \\ a & b & c \end{pmatrix}\qquad ; \qquad MA = \begin{pmatrix} c & b & a \\ f & e & d \\ i & h & g \end{pmatrix} \] L'égalité $AM = M$ impose : $g=a, h=b, i=c$.
    L'égalité $MA = M$ impose : $c=a, f=d,i=g$.
    En combinant ces conditions, on obtient :
    $a=c=g=i~~$, $~~b=h~~$ et $~~d=f$.
    Tout élément $M$ de $F$ est de la forme : \[ M = \begin{pmatrix} a & b & a \\ d & e & d \\ a & b & a \end{pmatrix}\] Avec: $~~(a, b, d, e) \in \mathbb{R}^4$

  • Base et dimension :
    On peut décomposer la matrice $M$ comme combinaison linéaire de quatre matrices :
    \[ M = a \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} + d \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} + e \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \] Notons ces matrices: $M_1, M_2, M_3, M_4$. Elles forment une famille génératrice de $F$.
    De plus, l'équation: $$aM_1 + bM_2 + dM_3 + eM_4 = O_3$$ implique: $$a=b=d=e=0$$ La famille $(M_1, M_2, M_3, M_4)$ est donc libre, et par conséquent constitue une base de base de $F$. et on a: $$\dim(F) = 4$$