1. Structure d'espace vectoriel:
  • Soit $M_{a,b} \in E$.
    On peut décomposer la matrice sous la forme :
    $M_{a,b} = \begin{pmatrix} a+b & a \\ a & -a+b \end{pmatrix} = a \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
  • Notons: $$J = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\qquad \text{et} \qquad I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ On a: $E = \text{Vect}(J, I)$.
    Comme $E$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ engendré par deux matrices, alors $(E, +, \cdot)$ est un $\mathbb{R}$-espace vectoriel.
  • VĂ©rifions si la famille $(J, I)$ est linĂ©airement indĂ©pendante.
    Soit $(\alpha, \beta) \in \mathbb{R}^2$ tels que: $$\alpha J + \beta I = 0_2$$
    $$\begin{pmatrix} \alpha+\beta & \alpha \\ \alpha & -\alpha+\beta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}=0$$ Ce qui implique: \begin{cases} \alpha = 0 \\\\ \alpha+\beta=0 \end{cases} Et donc: $$\alpha =\beta =0$$
    La famille $(J, I)$ est alors libre. Elle constitue donc une base de $E$. Par conséquent: $$\dim(E) = 2$$.

    • 2. Structure d'anneau
    • $(E, +)$ est un sous-groupe de $(\mathcal{M}_2(\mathbb{R}), +)$ car c'est un espace vectoriel.
    • StabilitĂ© pour la multiplication : Soient $M_{a,b}$ et $M_{a',b'}$ deux Ă©lĂ©ments de $E$. Comme $I$ commute avec toute matrice, calculons le produit via la base : $(aJ + bI)(a'J + b'I) = aa'J^2 + (ab' + a'b)J + bb'I$.
      Or, $J^2 = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = 2I$.
      Donc : $(aJ + bI)(a'J + b'I) = (ab' + a'b)J + (2aa' + bb')I\quad (*)$.
      Par la suite: $M_{a,b}M'_{a',b'}\in E$ En intervertissant les rÎles de $(a,b)$ et $(a',b')$ dans $(*)$ on en déduit que la multiplication est commutative.
    • ÉlĂ©ment neutre : La matrice identitĂ© $I = M_{0,1}$ appartient Ă  $E$. La multiplication dans $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ Ă©tant distributive par rapport Ă  l'addition et associative, $(E, +, \times)$ est un anneau commutatif unitaire.

    3. Est-ce un corps:
    • Recherche d'Ă©lĂ©ments non inversibles : Pour que $(E, +, \times)$ soit un corps, tout Ă©lĂ©ment non nul de $E$ doit ĂȘtre inversible dans $E$. Calculons le dĂ©terminant de $M_{a,b}$ :
      $$\det(M_{a,b}) = (a+b)(-a+b) -a^2=b^2-2a^2$$ On a: $$\det(M_{a,b})=0\iff b=\pm \sqrt{2} a$$ Par exemple:
      $~~M_{1,\sqrt 2}~~$ est non nulle et n'est pas inversible dans $(E^*,\times)$. Par conséquent: $(E,+,\times)$ n'est pas un coprs.