1. DĂ©montrer que $E$ est un vectoriel :
    $E$ est inclus dans $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$.
    VĂ©rifions que c'est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$:
    - La matrice nulle $0_{2}$ appartient Ă  $E$ (en prenant $a=b=c=0$).
    - Soient $M = \begin{pmatrix} a & c \\ 0 & b \end{pmatrix}$ et $M' = \begin{pmatrix} a' & c' \\ 0 & b' \end{pmatrix}$ deux matrices de $E$, et $\lambda, \mu \in \mathbb{R}$.
    \[ \lambda M + \mu M' = \begin{pmatrix} \lambda a + \mu a' & \lambda c + \mu c' \\ 0 & \lambda b + \mu b' \end{pmatrix} \] La matrice résultante est bien dans $~E$.
    $E$ est donc un sous-espace vectoriel de $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$.

  2. Base et dimension :
    On a : \[ \begin{pmatrix} a & c \\ 0 & b \end{pmatrix} = a \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + c \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \] Posons: $$E_{1,1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, ~~E_{2,2} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix},~~ E_{1,2} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$.
    La famille $\mathcal{B} = (E_{1,1}, E_{2,2}, E_{1,2})$ est génératrice de $E$ et on vérifie aisément qu'elle est aussi libre.
    Ainsi, $\mathcal{B}$ est une base de $E$.
    et on a: $~~\dim E=3$
  3. Structure d'anneau:
    • StabilitĂ© pour la multiplication :
      Soient $M, M' \in E$ : \[ MM'=\begin{pmatrix} a & c \\ 0 & b \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a' & c' \\ 0 & b' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} aa' & ac' + cb' \\ 0 & bb' \end{pmatrix} \] $MM'~~$ est bien dans $E$.
      $E$ est donc stable pour la multiplication.

    • $(E, +)$ est un groupe abĂ©lien (car $E$ est un sous-espace vectoriel).

    • La multiplication est associative et distributive par rapport Ă  l'addition dans $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$, donc elle l'est dans $E$.

    • La matrice identitĂ© $I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}~~$ appartient Ă  $~E~$.

      • $(E, +, \times)~~$ est donc un anneau unitaire.
    • CommutativitĂ© :
      L'anneau n'est pas commutatif. Contre-exemple :
      $M = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ et $M' = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.
      $MM' = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ alors que $M'M = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$.

  4. On montre que $~G~$ est un groupe. $$MM'=\begin{pmatrix} a & c \\ 0 & b \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a' & c' \\ 0 & b' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} aa' & ac'+cb' \\ 0 & bb' \end{pmatrix} $$
    • StabilitĂ© : Si $M, M' \in G$, alors $aa' > 0$ et $bb' > 0$, donc $MM' \in G$.
    • ÉlĂ©ment neutre : $I_2 \in G$ car $1 > 0$.
    • ElĂ©ment inverse : Soit $M \in G$. Son dĂ©terminant est $ab \neq 0$, donc $M$ est inversible.

    \[ M^{-1} = \frac{1}{ab} \begin{pmatrix} b & -c \\ 0 & a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/a & -c/ab \\ 0 & 1/b \end{pmatrix} \] On a bien Ă©videmment: $~1/a > 0~~$ et $~~1/b > 0$.
    Et donc: $~~M^{-1} \in G$.
    $(G, \times)$ est donc un groupe.