• Par définition, toute fonction $~f_{a,b,c,d}~$ de l'ensemble $~E~$ s'écrit comme une combinaison linéaire des fonctions $~f, g, h~$ et $~k$ :
  \[f_{a,b,c,d}(x) = a \sin(x) + b x\sin(x) + c \cos(x) + d x\cos(x)\]
• Cela montre que $~E = \text{Vect}(f, g, h, k)$.
  La famille $~\mathcal{B} = (f, g, h, k)~$ est donc, par construction, une famille génératrice de $~~E$.

2. Montrrons que la famille $\mathcal{B}$ est libre

• Soient $~\alpha, \beta, \gamma, \delta$ dans $~\Bbb R~$ tels que pour tout $~x \in \mathbb{R}$ :
  \[ (\alpha + \beta x)\sin(x) + (\gamma + \delta x)\cos(x) = 0 \]
• En évaluant en $x = 0$, on obtient :
  \[ (\alpha + 0)\sin(0) + (\gamma + 0)\cos(0) = 0 \] Et donc: $$\gamma = 0$$
• En évaluant en $x = \pi$, on obtient :
  \[ (\alpha + \beta \pi)\sin(\pi) + (\gamma + \delta \pi)\cos(\pi) = 0 \] Ce qui implique: $$ -(\gamma + \delta \pi) = 0$$ on en déduit que: $$\delta = 0$$
• L'équation initiale se simplifie alors en :
  \[ \forall x \in \mathbb{R}, \quad (\alpha + \beta x)\sin(x) = 0 \]
• Considérons l'intervalle ouvert $I = ]0, \pi[$. Sur cet intervalle, la fonction sinus ne s'annule pas. On a donc :
  \[ \forall x \in I, \quad \alpha + \beta x = 0 \]
• Et donc: $$\alpha = \beta = 0$$.

3. Conclusion

• La famille $\mathcal{B}$ est libre $E$.
• Libre et Génératrice, $\mathcal{B} = (f, g, h, k)$ est donc une base de $E$.