1. Préliminaires:
Soit $H = \text{Vect}(\cos x, \cos 3x)$ l'espace vectoriel engendré par les fonctions:$f_1 : x \mapsto \cos x$
$f_2 : x \mapsto \cos 3x$.
On montre que: $~~\dim(H) = 2$
En effet:
Soit $(\alpha, \beta) \in \mathbb{R}^2$.
Supposons que l'on a pour tout $~x \in \mathbb{R}$ : \[ \alpha \cos(x) + \beta \cos(3x) = 0 \]
2. Utilisation de valeurs particulières
Pour que cette égalité soit vraie pour tout $~x~$, elle doit l'être pour des valeurs particulères suivantes :- Cas: $~~x = 0$ \[ \alpha \cos(0) + \beta \cos(0) = 0 \implies \alpha + \beta = 0 \quad (1) \]
- Cas: $~~x = \frac{\pi}{4}$
L'équation devient : \[ \alpha \frac{\sqrt{2}}{2} - \beta \frac{\sqrt{2}}{2} = 0 \implies \alpha - \beta = 0 \quad (2) \]
3. Résolution du système
En combinant les équations (1) et (2) : \[ \begin{cases} \alpha + \beta = 0 \\ \alpha - \beta = 0 \end{cases} \implies 2\alpha = 0 \implies \alpha = 0 \] En remplaçant dans (1), on obtient également $\beta = 0$.La famille $(\cos x, \cos 3x)$ est donc libre.
2. Relation de linéarisation
On a : \[ \cos(a)\cos(b) = \frac{1}{2}\left(\cos(a+b) + \cos(a-b)\right) \] En posant $~a = 2x~$ et $~b = x~$, nous obtenons : \[ \cos 2x \cos x = \frac{1}{2}(\cos 3x + \cos x) \] Cette relation montre que la fonction $g : x \mapsto \cos x \cos 2x$ est une combinaison linéaire des vecteurs de la base de $H$. En effet : \[ g = \frac{1}{2} f_1 + \frac{1}{2} f_2 \]3. Démonstration du caractère de base
Soit la famille $\mathcal{B}' = (u_1, u_2)$ avec $u_1(x) = \cos x$ et $u_2(x) = \cos x \cos 2x$.- Appartenance à H :
$u_1 = f_1 \in H$
$u_2 = \left(\frac{1}{2}f_1 + \frac{1}{2}f_2\right) \in H$.
La famille $\mathcal{B}'$ est donc contenue dans $H$. - Indépendance linéaire : Supposons qu'il existe deux réels $\alpha$ et $\beta$ tels que: $$\alpha u_1 + \beta u_2 = 0$$ Ce qui équivaut à: \[ \alpha f_1 + \beta \left( \frac{1}{2}f_1 + \frac{1}{2}f_2 \right) = 0 \] Soit en réarrangeant: \[ \left( \alpha + \frac{\beta}{2} \right) f_1 + \left( \frac{\beta}{2} \right) f_2 = 0 \] Or, la famille $(f_1, f_2)$ est une base (donc libre). Ses coefficients sont nécessairement nuls : \[ \begin{cases} \alpha + \frac{\beta}{2} = 0 \\ \frac{\beta}{2} = 0 \end{cases} \implies \alpha =\beta = 0 \] La famille $\mathcal{B}'$ est donc libre.
Conclusion : La famille $(\cos x, \cos x \cos 2x)$ est une famille libre de 2 vecteurs dans un espace de dimension 2. C'est donc une base de $H$.