Exercice : Espaces vectoriels de polynômes

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1. Étude de l'ensemble E

$$E = \{ P \in \mathbb{R}_3[X] \mid P(-1) = 0 \}$$ Montrons que $E$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}_3[X]$.

• Le polynôme nul est clairement dans $E$
• Stabilité par combinaison linéaire :
  Soient $~(P, Q) \in E^2~$ et $~(\lambda, \mu) \in \mathbb{R}^2$.
  Posons: $$R = \lambda P + \mu Q$$. On a : $$R(-1) = (\lambda P + \mu Q)(-1) = \lambda P(-1) + \mu Q(-1)$$ Comme $P \in E$ et $Q \in E$, alors: $$P(-1)=Q(-1)=0$$ D'où: $~~R(-1) = 0$
  Donc: $$(\lambda P + \mu Q) \in E$$

$E$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}_3[X]$.

Famille génératrice de E:

Un polynôme $P \in \mathbb{R}_3[X]$ appartient à $E$ si et seulement si $-1$ est une racine de $P$.
D'après le théorème de factorisation, $P$ est divisible par $(X - (-1))=(X+1)$.
Ainsi $P \in E \iff \exists Q \in \mathbb{R}_2[X]$ tel que: $$P(X) = (X+1)Q(X)$$ Soit: $$Q(X) = a + bX + cX^2$$ Alors : \[ P(X) = (X+1)(a + bX + cX^2) = a(X+1) + bX(X+1) + cX^2(X+1) \] Une partie génératrice de $E$ est donc : \[ \mathcal{G}_E = \left( X+1, X(X+1), X^2(X+1) \right) \]

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2. Étude de F:

$$F = \{ P \in \mathbb{R}_2[X] \mid P(1-X) = P(X) \}$$

• Le polynome nul appartient à F .
• linearité:
  Soient $~P,Q~$ deux polynômes de $F~~$ et $~~(\lambda,\mu) \in \Bbb R^2$: $$\lambda P(1-X) + \mu Q(1-X)=\lambda P(X)+\mu Q(X)$$ puisque: $$P(1-X) = P(X)\qquad \text{et} \qquad Q(1-X)=Q(X)$$

Ceci prouve que $~F~$ est un sous-espace vectoriel de $~\mathbb{R}_2[X]~$

Famille génératrice de F

Soit $P = aX^2 + bX + c \in \mathbb{R}_2[X]$.
Alors: $$P(1-X) = P(X)$$ En faisant x=0 : \[ P(0)=P(1) \] Ce qui implique: \[ b=-c \] Ce qui donne: $$P(X)=a+bx-bx^2$$ Soit: $$P(X)=a+bX(1-X)$$ Et on remarque bien que la condition $(~P(0)=P(1)~)$ est suffiante puisque le polynôme obtenu appartient bien à $F$. Une famille génératrice de F est donc: \[ \mathcal{G}_F = \left( 1,~X^2 - X \right) \]