Par définition: $$K = \{ V \in \mathbb{R}^3 \mid AV = 0 \}$$. Montrons qu'il s'agit d'un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^3$ :

• Ensemble K est non vide:
  Soit $~0_{\mathbb{R}^3}~,~$ le vecteur nul de $\mathbb{R}^3$.
  On a: $~~A \cdot 0_{\mathbb{R}^3} = 0_{\mathbb{R}^3}~~$, et donc $~~0_{\mathbb{R}^3} \in K$.
  L'ensemble K est donc non vide.


• Stabilité par combinaison linéaire :
  
  Soient $(U, V) \in K^2$ et $(\lambda, \mu) \in \mathbb{R}^2$.
  Calculons $A(\lambda U + \mu V)$ en utilisant la linéarité du produit matriciel : \[ A(\lambda U + \mu V) = \lambda (AU) + \mu (AV) \] Comme $~U \in K~$ et $~V \in K~$, nous avons $~AU = 0$ et $AV = 0$.
  D'où : $A(\lambda U + \mu V) = \lambda \cdot 0 + \mu \cdot 0 = 0$.
  Ainsi, $(\lambda U + \mu V) \in K$.

$K$ est donc un sous-espace vectoriel de $~\mathbb{R}^3$.

---

2. Recherche d'un vecteur non nul de K

Cherchons un vecteur $V_0 = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \neq 0$ tel que $AV_0 = 0$ : $$\begin{pmatrix} -2 & 0 & -4 \\ 0 & 3 & 0 \\ 2 & 0 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$ Est équivalent à: \begin{cases} -2x - 4z = 0 \\\\ 3y = 0\\ \\ 2x + 4z = 0 \end{cases} Est équivalent à: \begin{cases} y = 0 \\\\ x = -2z \end{cases} En choisissant $z = 1$, nous obtenons le vecteur : $$V_0 = \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} $$

---

3. Étude de la famille (V₀, V₁, V₂)

Déterminons d'abord les vecteurs $V_1$ et $V_2$ :

• $V_1 = AE_1$ correspond à la première colonne de $A$ : $$V_1 = \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}$$
• $V_2 = AE_2$ correspond à la deuxième colonne de $A$ : $$V_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}$$

Pour montrer que $(V_0, V_1, V_2)$ est une base de $\mathbb{R}^3$, il faut et il suffit de montrer que cette famille est libre:
En effet, l'équation: $$\alpha V_0 + \beta V_1 + \gamma V_2 = 0$$ Peut s'écrire: $$ \alpha \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \beta \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + \gamma \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$ Ce qui équivaut à: \begin{cases} -2\alpha - 2\beta = 0 & (L_1) \\\\ 3\gamma = 0 & (L_2) \\\\ \alpha + 2\beta = 0 & (L_3) \end{cases} De $(L_2)$, on tire: $$\gamma = 0$$ En additionnant $(L_1)$ et $(L_3)$, on obtient : $$\beta = 0$$ En substituant dans dans $(L_3)$, il vient: $$\alpha = 0$$ La famille $~\mathcal B~$ est donc libre, et par conséquent, constitue une base de $~\Bbb R^3$