- Montrons que F est un sous espace vectoriel de $(\Bbb R^3,+,.)$
Soit $u(x,y,z)\in F$ alors on a: : $$x + y - z = 0$$ alors: $$u=(x,y,x+y)=x(1,0,1)+y(0,1,1)$$ Ce qui montre que: $$ F=\text{Vect}\lbrace(1,0,1),(0,1,1)\rbrace$$ - De même pour $G$ :
$$v\in G\iff \begin{cases}x + y - 2z &=0\\2x - y - z &= 0\end{cases}$$ Ce qui est équivalent à: $$x=y=z$$ $G$ est donc le sous espace vectoriel de $\Bbb R^3$ engendré par: $v =(1,1,1)$.
Soit: $$G=\text{Vect{(1,1,1)}}$$
2. Détermination des bases
- Base de $F$ :
On a déja vu que ((1, 0, 1),(0, 1, 1)) est une famille génératrice. et il est aisé de voir qu'elle est aussi libre, et donc forme une base de $F$.
Ainsi, $\dim(F) = 2$. - Base de $G$ :
Ce qu'on vient de dire pour F s'applique pour G et on voit bien que la famille constitué de l'unique vecteur v((1,1,1)) est une famille libre et génératrice et donc forme une base base de $G$
Par Conséquent: $\dim G=1$
3. Supplémentarité de $F$ et $G$
-
On a:
$$\dim(F) + \dim(G) = 2 + 1 = 3 = \dim(E)$$.
- Intersection : Soit $u \in F \cap G$.
Comme $~u \in G$, il s'écrit: $~u = (x, x, x)$.
Comme $~u \in F$, on a $x + x - x = 0$
Soit: $~x = 0$.
Donc: $$F \cap G = \{0_E\}$$ - Conclusion :
Les conditions de dimension et d'intersection étant vérifiées, $F$ et $G$ sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires dans $E$.
4. Construction d'une base $\mathcal{B}'$ de $\mathbb{R}^3$
- Puisque $F$ et $G$ sont supplémentaires, la réunion d'une base de $F$ et d'une base de $G$ constitue une base de $E$.
- Soit $\mathcal{B}' = (v_1, v_2, v_3)$ avec:
$v_1 = (1, 0, 1) \in F,\qquad v_2 = (0, 1, 1) \in F,\qquad v_3 = (1, 1, 1) \in G$.
5. Coordonnées de $u = (2, 3, 4)$ dans $\mathcal{B}'$
- Posons:
$$u = \alpha v_1 + \beta v_2 + \gamma v_3$$
Soit :
\[ (2, 3, 4) = \alpha(1, 0, 1) + \beta(0, 1, 1) + \gamma(1, 1, 1) \]
On obtient le sytème d'équations :
\[ \begin{cases} \alpha + \gamma = 2 \\ \beta + \gamma = 3 \\ \alpha + \beta + \gamma = 4 \end{cases} \]
En soustrayant les deux premières équations de la troisième, on obtient: $$\beta =2$$ Et puis: $$\alpha =\beta = 1$$. - Résultat : Les coordonnées de $u$ dans $\mathcal{B}'$ sont $(1, 2, 1)$.