Détermination des dimensions de $F$, $G$, $F+G$ et $F \cap G$
1. Dimension de $F = \text{Vect}(u, v, w)$
On examine l'indépendance linéaire des vecteurs:$u(1,0,1,0)$, $v(0,1,-1,0)~~$ et $~~w(1,1,1,1)$.
Soit $\alpha,\beta,\gamma~$ dans $~\Bbb R~$ tels que: $$\alpha u + \beta v + \gamma w = 0$$. \[ \begin{cases} \alpha + \gamma = 0 \\ \beta + \gamma = 0 \\ \alpha - \beta + \gamma = 0 \\ \gamma = 0 \end{cases} \]
La quatrième équation donne immédiatement $\gamma = 0$.
En subsituant dans les autres, on obtient: $$\alpha =\beta = \gamma=0$$ La famille $(u, v, w)$ est donc libre et on a: \[ \dim(F) = 3 \]
2. Dimension de $G = \text{Vect}(x, y)$
On considère les vecteurs $x(0,0,1,0)$ et $y(1,1,0,-1)$.Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires car leurs composantes ne sont pas proportionnelles.
La famille $(x, y)$ est donc linéairement indépendante. \[ \dim(G) = 2 \]
3. Dimension de $F + G$
L'espace $F + G$ est engendré par la famille $(u, v, w, x, y)$. Pour trouver sa dimension, nous cherchons le rang de cette famille de 5 vecteurs dans $\mathbb{R}^4$.Comme $\dim(\mathbb{R}^4) = 4$, on sait déjà que $\dim(F+G) \leq 4$.
Testons si la famille $(u, v, w, x)$ est libre : Soit $\alpha u + \beta v + \gamma w + \delta x = 0_{\mathbb{R}^4}$ : \[ \begin{cases} \alpha + \gamma = 0 & (L_1) \\ \beta + \gamma = 0 & (L_2) \\ \alpha - \beta + \gamma + \delta = 0 & (L_3) \\ \gamma = 0 & (L_4) \end{cases} \]
D'après $(L_4)$, $\gamma = 0$.
D'après $(L_1)$ et $(L_2)$, on en déduit $\alpha = 0$ et $\beta = 0$.
Enfin, $(L_3)$ devient $0 - 0 + 0 + \delta = 0$, donc $\delta = 0$.
La famille $(u, v, w, x)$ est composée de 4 vecteurs linéairement indépendants dans $\mathbb{R}^4$. C'est donc une base de $\mathbb{R}^4$.
On en conclut que $F + G = \mathbb{R}^4$. \[ \dim(F + G) = 4 \]
4. Dimension de $F \cap G$
On applique la formule de Grassmann : \[ \dim(F + G) = \dim(F) + \dim(G) - \dim(F \cap G) \]Ce qui donne : \[ 4 = 3 + 2 - \dim(F \cap G) \] \[ 4 = 5 - \dim(F \cap G) \]
D'où : \[ \dim(F \cap G) = 1 \]
Synthèse des résultats :
- $\dim(F) = 3$
- $\dim(G) = 2$
- $\dim(F+G) = 4$
- $\dim(F \cap G) = 1$