Démonstration : Sous-espace vectoriel engendré
Analyse de la structure de l'ensemble $F$
L'ensemble $F$ est défini par : \[ F = \{ (2a, a+b, 2b) \mid a, b \in \mathbb{R} \} \]
Un élément de $F$ se décompose comme suit : \[ (2a, a+b, 2b) = (2a, a, 0) + (0, b, 2b) \] \[ (2a, a+b, 2b) = a(2, 1, 0) + b(0, 1, 2) \]
Ceci montre que $F$ est le sous-espace vectoriel engendré par les vecteurs : \[ w_1=(2, 1, 0) \quad \text{et} \quad w_2=(0, 1, 2) \] Soit : \[ F = \text{Vect}(w_1, w_2) \]
VĂ©rifions si $u$ et $v$ appartiennent Ă  $F$ :
  • Pour $u(1, 1, 1)$ : Existe-t-il $a, b$ tels que $(2a, a+b, 2b) = (1, 1, 1)$ ?
    On obtient le systÚme : \[ \begin{cases} 2a&=1 \\ 2b&=1 \\ a+b&=1 \end{cases} \] Ce qui implique : \[ a=b=\dfrac{1}{2} \] Et on vérifie bien que : \[ a+b = 1/2 + 1/2 = 1 \] Donc $u \in F$.

  • Pour $v(1, 0, -1)$ : On cherche $a, b$ tels que : \[ (2a, a+b, 2b) = (1, 0, -1) \] On doit avoir : \[ \begin{cases} 2a&=1 \\ a+b&=0 \\ 2b&=-1 \end{cases} \] Ces trois Ă©quations sont satisfaites pour : \[ (a,b)=\left(\dfrac{1}{2},-\dfrac{1}{2}\right) \] Donc $v \in F$.
Conclusion :
  • Les vecteurs $u$ et $v$ appartiennent Ă  $F$, donc $\text{Vect}(u, v) \subseteq F$.
  • On observe que $u$ et $v$ sont linĂ©airement indĂ©pendants.
  • La dimension de $\text{Vect}(u, v)$ est donc 2.
  • Comme la dimension de $F$ est Ă©galement 2.

On en déduit : \[ F = \text{Vect}(u, v) \]