Étude de l'intersection de deux sous-espaces vectoriels

Soient les ensembles de $\mathbb{R}^3$ :
$F = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid x + y - z = 0\}$
$G = \{(a-b, a+b, a-3b) \mid a, b \in \mathbb{R}\}$

1. Montrons que $F$ et $G$ sont des sous-espaces vectoriels de $\mathbb{R}^3$

   • Pour $F$ :
     un vecteur $s=(x,y,z)$ de $F$ s'écrit: $$s=(x,y,x+y)=x(1,1,0)+y(0,1,1)$$ $F~$ est le sous espace vectoriel de $~\Bbb R^3~$ engendré par les vecteurs $(1,1,0)$ et $(0,1,1)$
   • Pour $G$ :
     Un vecteur de $G$ s'écrit :
     $(a-b, a+b, a-3b) = a(1, 1, 1) + b(-1, 1, -3)$.
     Donc $G = \text{Vect}(u, v)$ avec $u = (1, 1, 1)$ et $v = (-1, 1, -3)$.
     En tant que sous-espace engendré par une famille de vecteurs, $G$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^3$.

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2. Déterminons l'intersection $F \cap G$

   Soit $w$ un vecteur de $\mathbb{R}^3$.
   $w \in F \cap G \iff w \in G \text{ et } w \text{ vérifie l'équation de } F$.

   • Puisque $w \in G$, il existe $a, b \in \mathbb{R}$ tels que $w = (a-b, a+b, a-3b)$.
     Posons $x = a-b$, $y = a+b$ et $z = a-3b$.
   • Injectons ces coordonnées dans l'équation de $F: ~(x + y - z = 0)$
     
     $(a - b) + (a + b) - (a - 3b) = 0$
     $2a - a + 3b = 0$
     $a + 3b = 0 \implies a = -3b$.
   • Exprimons maintenant le vecteur $w$ en fonction du seul paramètre $b$ :
     $x = (-3b) - b = -4b$
     $y = (-3b) + b = -2b$
     $z = (-3b) - 3b = -6b$
   • Ainsi, $w = (-4b, -2b, -6b) = -2b(2, 1, 3)$.
     En posant $k = -2b$, on a $w = k(2, 1, 3)$.
   • Conclusion :
     $F \cap G = \text{Vect}(2, 1, 3)$.
     L'intersection est la droite vectorielle engendrée par le vecteur $(2, 1, 3)$.
     $\dim(F \cap G) = 1$.