-
$F_1 = \text{Vect}(u_1)~~$ avec $~~u_1 = (1, 2, 3)$
- Soit $(x, y, z) \in \mathbb{R}^3$.
$(x, y, z) \in F_1 \iff \exists \lambda \in \mathbb{R}, \text{ tel que: }$: $$ (x, y, z) = \lambda(1, 2, 3)$$. - On obtient le système suivant : \[\left\{ \begin{matrix} x = \lambda \\ y = 2\lambda \\ z = 3\lambda \end{matrix} \right.\]
- En éliminant le paramètre $\lambda$, on obtient les relations :
$y = 2x$ et $z = 3x$. - Conclusion :
Un système d'équations de $F_1$ est : \[\left\{ \begin{matrix} 2x - y = 0 \\ 3x - z = 0 \end{matrix} \right.\]
- Soit $(x, y, z) \in \mathbb{R}^3$.
-
$F_2 = \text{Vect}(u_1, u_2) ~~$ avec $~~u_1 = (1, 2, 3)~~$ et $~~u_2 = (-1, 0, 1)$
- Soit $(x, y, z) \in \mathbb{R}^3$.
$(x, y, z) \in F_2 \iff \exists (a, b) \in \mathbb{R}^2~~$, tels que:$ $$ (x, y, z) = a(1, 2, 3) + b(-1, 0, 1)$$. - Ce qui se traduit par le système : \[\left\{ \begin{matrix} a - b = x & \textbf{(1)} \\ 2a = y & \textbf{(2)} \\ 3a + b = z & \textbf{(3)} \end{matrix} \right.\]
- D'après (2), on a $a = \frac{y}{2}$.
D'après (1), on a $b = a - x = \frac{y}{2} - x$. - On remplace $a$ et $b$ dans (3) :
$3(\frac{y}{2}) + (\frac{y}{2} - x) = z \implies 2y - x = z$. - Conclusion :
Une équation cartésienne de $F_2$ est : $$x - 2y + z = 0$$.
- Soit $(x, y, z) \in \mathbb{R}^3$.
-
$F_3 = \text{Vect}(u_1, u_2, u_3)~~$ avec: $~~u_1 = (1, 2, 0)$, $~~u_2 = (2, 1, 0)~~$ et $~~u_3 = (1, 0, 1)$
- Étudions d'abord si la famille $(u_1, u_2, u_3)$ est libre.
Soit $(a, b, c) \in \mathbb{R}^3$ tel que $au_1 + bu_2 + cu_3 = 0$. - On obtient le système suivant : \[\left\{ \begin{matrix} a + 2b + c = 0 & \textbf{(1)} \\ 2a + b = 0 & \textbf{(2)} \\ c = 0 & \textbf{(3)} \end{matrix} \right.\]
- D'après (3), $c=0$. Le système devient :
$\left\{ \begin{matrix} a + 2b = 0 \\ 2a + b = 0 \end{matrix} \right. \implies \left\{ \begin{matrix} a = -2b \\ 2(-2b) + b = 0 \end{matrix} \right. \implies -3b = 0$. - On en déduit que $a=b=c=0$.
La famille $(u_1, u_2, u_3)$ est donc libre dans $\mathbb{R}^3$. - Comme elle est composée de 3 vecteurs et que $\dim(\mathbb{R}^3) = 3$, c'est une base de $\mathbb{R}^3$.
Le sous-espace engendré est donc $\mathbb{R}^3$ tout entier. - Conclusion :
Tout vecteur de $\mathbb{R}^3$ appartient à cet espace. Il n'y a aucune équation restrictive ($F_3 = \mathbb{R}^3$).
- Étudions d'abord si la famille $(u_1, u_2, u_3)$ est libre.