Détermination de bases et de dimensions

1. Étude du sous-espace $\quad F_1 = \left\{(x, y) \in \mathbb R^2 \mid x - y = 0\right\}$

   • Soit $(x, y) \in \mathbb R^2$.
     $(x, y) \in F_1 \iff x = y$.
   • On peut donc écrire le vecteur sous la forme :
     $(x, y) = (x, x) = x(1, 1)$.
   • On en déduit que $F_1 = \text{Vect}(u)$ avec $u = (1, 1)$.
     La famille $(u)$ est génératrice de $F_1$.
   • Comme le vecteur $u$ est non nul, la famille $(u)$ est libre.
     C'est donc une base de $F_1$.
   • Conclusion :
     $\dim(F_1) = 1$.

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2. Étude du sous-espace: $\quad F_2 = \left\{(x, y, z) \in \mathbb R^3 \mid x + y - z = 0\right\}$

   • Soit $(x, y, z) \in \mathbb R^3$.
     $(x, y, z) \in F_2 \iff z = x + y$.
   • On exprime le vecteur général en fonction des paramètres libres $x$ et $y$ :
     $(x, y, z) = (x, y, x + y) = (x, 0, x) + (0, y, y) = x(1, 0, 1) + y(0, 1, 1)$.
   • Soient $v_1 = (1, 0, 1)$ et $v_2 = (0, 1, 1)$.
     La famille $(v_1, v_2)$ est génératrice de $F_2$.
   • Les vecteurs $v_1$ et $v_2$ ne sont pas colinéaires.
     La famille $(v_1, v_2)$ est donc libre.
     Elle constitue une base de $F_2$.
   • Conclusion :
     $\dim(F_2) = 2$.

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3. Étude du sous-espace: $\quad F_3 = \left\{(x, y, z) \in \mathbb R^3 \mid x - y + z = 0 \text{ et } x + y - z = 0\right\}$

   • Soit $(x, y, z) \in \mathbb R^3$.
     Le système d'équations caractérisant $F_3$ est : \[\left\{ \begin{matrix} x - y + z = 0 \quad \textbf{(1)} \\ x + y - z = 0 \quad \textbf{(2)} \end{matrix} \right.\]
   • En effectuant l'opération $\textbf{(1)} + \textbf{(2)}$, on obtient $2x = 0$, soit $x = 0$.
     En remplaçant $x$ dans $\textbf{(2)}$, on obtient $y - z = 0$, soit $y = z$.
   • Le vecteur général de $F_3$ s'écrit donc :
     $(x, y, z) = (0, z, z) = z(0, 1, 1)$.
   • Soit $w = (0, 1, 1)$.
     Le vecteur $w$ étant non nul, la famille $(w)$ est libre et génératrice de $F_3$.
     C'est une base de $F_3$.
   • Conclusion :
     $\dim(F_3) = 1$.