Indépendance et dépendance linéaires d'une famille de vecteurs
On suppose que la famille $\mathcal{B} = (e_1, e_2, e_3, e_4)$ est libre.
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Étude de la famille $(e_1, 2e_2, e_3)$
- Soit $(a, b, c) \in \mathbb{R}^3$ tel que $ae_1 + b(2e_2) + ce_3 = 0$.
Cette égalité s'écrit aussi : $ae_1 + (2b)e_2 + ce_3 + 0e_4 = 0$. - Puisque la famille $(e_1, e_2, e_3, e_4)$ est libre, tous les coefficients sont nuls.
On en déduit alors que $a = 2b = c = 0$. - D'où l'on tire $a = b = c = 0$.
Conclusion : La famille est donc libre.
- Soit $(a, b, c) \in \mathbb{R}^3$ tel que $ae_1 + b(2e_2) + ce_3 = 0$.
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Étude de la famille $(e_1, e_3)$
- On rappelle qu'une sous-famille d'une famille libre est elle-même libre.
Conclusion : Comme $(e_1, e_3)$ est une famille extraite de $\mathcal{B}$, elle est libre.
- On rappelle qu'une sous-famille d'une famille libre est elle-même libre.
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Étude de la famille $(e_1, 2e_1 + e_4, e_3 + e_4)$
- Soit $(a, b, c) \in \mathbb{R}^3$ tel que $ae_1 + b(2e_1 + e_4) + c(e_3 + e_4) = 0$.
En regroupant les termes selon les vecteurs de la base $\mathcal{B}$ : \[(a + 2b)e_1 + 0e_2 + ce_3 + (b + c)e_4 = 0\] - Puisque la famille $(e_1, e_2, e_3, e_4)$ est libre, on obtient le système : \[\left\{ \begin{matrix} a + 2b = 0 \\ c = 0 \\ b + c = 0 \end{matrix} \right.\]
- On en déduit facilement que $a = b = c = 0$.
Conclusion : La famille est donc libre.
- Soit $(a, b, c) \in \mathbb{R}^3$ tel que $ae_1 + b(2e_1 + e_4) + c(e_3 + e_4) = 0$.
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Étude de la famille $(2e_1 + e_2, e_1 - 2e_2, e_4, 7e_1 - 4e_2)$
- Soit $(a, b, c, d) \in \mathbb{R}^4$ tel que :
$a(2e_1 + e_2) + b(e_1 - 2e_2) + ce_4 + d(7e_1 - 4e_2) = 0$. - On réorganise l'expression sous la forme : \[(2a + b + 7d)e_1 + (a - 2b - 4d)e_2 + 0e_3 + ce_4 = 0\]
- Comme la famille $\mathcal{B}$ est libre, on en déduit que : \[\left\{ \begin{matrix} 2a + b + 7d = 0 \\ a - 2b - 4d = 0 \\ c = 0 \end{matrix} \right. \iff \left\{ \begin{matrix} a = -2d \\ b = -3d \\ c = 0 \end{matrix} \right.\]
- En prenant par exemple $d = -1$, le système admet $(2, 3, 0, -1)$ comme solution non triviale.
Conclusion : La famille est donc liée. - Plus précisément, on a la relation de dépendance suivante :
$(7e_1 - 4e_2) = 2(2e_1 + e_2) + 3(e_1 - 2e_2)$. - Remarque :
On peut observer que les 4 vecteurs de cette famille appartiennent au sous-espace engendré par $(e_1, e_2, e_4)$.
Étant donné que cet espace est de dimension 3, toute famille de 4 vecteurs y est nécessairement liée.
- Soit $(a, b, c, d) \in \mathbb{R}^4$ tel que :