Soient:
$P_1(X) = 8X^3 - 5X^2 + 1$,
$P_2(X) = X^2 - 2$
$P(X) = 16X^3 - 7X^2 + 21X - 4$.

• On rappelle que la famille $\mathcal{B} = (1, X, X^2, X^3)$ est une base de l'espace des polynômes de degré inférieur ou égal à 3 ($\mathbb{R}_3[X]$).
• On observe que $P_1$ et $P_2$ appartiennent au sous-espace :
  $F = \text{Vect}(1, X^2, X^3)$.
• Or, l'espace engendré par $P_1$ et $P_2$ est inclus dans $F$ :
  $\text{Vect}(P_1, P_2) \subset \text{Vect}(1, X^2, X^3)$.
• L'espace $F$ contient uniquement des polynômes dont le coefficient de $X$ est nul. Toutefois, dans le polynôme $P(X)$, le coefficient de $X$ est $21$.
• Conclusion : Comme $X \notin F$, alors $P \notin \text{Vect}(1, X^2, X^3)$.
  Par conséquent, $P$ n'est pas une combinaison linéaire de $P_1$ et $P_2$.