Indépendance linéaire et dimension de l'espace

Soient $a, b$ et $c$ trois réels.
On considère les fonctions:
$f_a(x) = \sin(x+a)$, $f_b(x) = \sin(x+b)$ et $f_c(x) = \sin(x+c)$.
Montrons que la famille $(f_a, f_b, f_c)$ est liée.

Démonstration par l'argument de dimension

• D'après les formules d'addition, pour tout réel $\theta$, on a :
  $f_\theta(x) = \sin(x+\theta) = \cos \theta \sin x + \sin \theta \cos x$.
• Soit $E$ l'ensemble des fonctions de la forme $x \mapsto \alpha \sin x + \beta \cos x$, où $(\alpha, \beta) \in \mathbb{R}^2$.
  On peut facilement vérifier que la famille $(\sin, \cos)$ est une famille libre, elle constitue donc une base de $E$.
• Par conséquent, l'espace vectoriel $E$ est de dimension : \[\dim(E) = 2\]
• Or, les trois fonctions $f_a, f_b$ et $f_c$ sont des éléments de $E$ car elles sont des combinaisons linéaires des fonctions $\sin$ et $\cos$.
• Conclusion :
  La famille $(f_a, f_b, f_c)$ est formée de 3 vecteurs dans un espace de dimension 2. Une famille dont le cardinal est strictement supérieur à la dimension de l'espace ne peut pas être libre. Elle est donc nécessairement liée.