Indépendance linéaire de fonctions trigonométriques

Soient les fonctions $f(x) = \cos x$ et $g(x) = \cos(x+\alpha)$. Déterminons pour quelles valeurs de $\alpha$ la famille $\{f, g\}$ est libre dans l'espace des fonctions réelles.

On rappelle la formule d'addition : $\cos(x+\alpha) = \cos \alpha \cos x - \sin \alpha \sin x$.

Méthode 1 : Utilisation de valeurs particulières

• Soient $a$ et $b$ deux réels tels que : $a\cos(x+\alpha) + b\cos x = 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.
• Si $\sin \alpha = 0$ : $\alpha = k\pi$. Alors $\cos(x+k\pi) = \pm \cos x$.
  Les fonctions sont proportionnelles, donc la famille est liée.
• Si $\sin \alpha \neq 0$ :
  • Pour $x = \frac{\pi}{2}$ : $a\cos(\alpha + \frac{\pi}{2}) + b\cos \frac{\pi}{2} = 0 \implies -a\sin \alpha = 0$. Comme $\sin \alpha \neq 0$, on a $a = 0$.
  • Pour $x = 0$ : $a\cos(\alpha) + b\cos(0) = 0$. Comme $a=0$, on obtient $b = 0$.
  La famille est donc libre.

Méthode 2 : Décomposition sur la famille $(\cos, \sin)$

• On considère l'égalité : $a\cos(x+\alpha) + b\cos x = 0$
• En développant, on obtient :
  $a(\cos \alpha \cos x - \sin \alpha \sin x) + b\cos x = 0$
  $(a \cos \alpha + b) \cos x - (a \sin \alpha) \sin x = 0$
• Or, la famille $(\cos x, \sin x)$ est une famille libre. Par conséquent, ses coefficients sont nuls : \[\left\{ \begin{matrix} a \sin \alpha = 0 & \quad \textbf{(1)} \\ a \cos \alpha + b = 0 & \quad \textbf{(2)} \end{matrix} \right.\]
• Analyse :
  • Si $\sin \alpha \neq 0$, alors $\textbf{(1)} \implies a = 0$, puis $\textbf{(2)} \implies b = 0$. La famille est libre.
  • Si $\sin \alpha = 0$, on peut trouver des solutions non nulles (ex: $a=1, b=-\cos \alpha$). La famille est liée.

Conclusion

La famille $\{f, g\}$ est libre si et seulement si $~\alpha \notin \{k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}\}$.