Sous-espaces vectoriels de $\mathbb{R}^3$

On rappelle que $(\mathbb{R}^3, +, \cdot)$ est un $\mathbb{R}$-espace vectoriel. Le vecteur nul de $\mathbb{R}^3$ est noté $0_{\mathbb{R}^3} = (0, 0, 0)$.

1. Étude de $E_1$

• $E_1 \subset \mathbb{R}^3$ et $0_{\mathbb{R}^3} \in E_1$ car il vérifie l'égalité $0 + 2 \times 0 = 0$.
• Soient $(\alpha, \beta) \in \mathbb{R}^2~$ et $~u,v~$ deux vecturs de $~E_1$:
  $u=(x_1, y_1, z_1) \quad$ et $\quad v = (x_2, y_2, z_2)$
• Par définition, on a $x_1 + 2y_1 = z_1$ et $x_2 + 2y_2 = z_2$.
• Le vecteur $\alpha u + \beta v = (\alpha x_1 + \beta x_2, \alpha y_1 + \beta y_2, \alpha z_1 + \beta z_2)$ vérifie :
  $(\alpha x_1 + \beta x_2) + 2(\alpha y_1 + \beta y_2) = \alpha(x_1 + 2y_1) + \beta(x_2 + 2y_2) = \alpha z_1 + \beta z_2$.
• Ainsi, $\alpha u + \beta v \in E_1$.
• Conclusion : $E_1$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^3$.

2. Étude de $E_2$

• $E_2 \subset \mathbb{R}^3$ et $0_{\mathbb{R}^3} \in E_2$ car $0 - 0 + 0 = 0$ et $2(0) + 0 + 2(0) = 0$.
• Soient $(\alpha, \beta) \in \mathbb{R}^2$ et soient $~u,v~$ deux vecteurs de $E_2$:
  $u = (x_1, y_1, z_1) \quad $ et $\quad v = (x_2, y_2, z_2) ~$
• Pour la combinaison linéaire $w = \alpha u + \beta v$ :
  - Première équation : $(\alpha x_1 + \beta x_2) - (\alpha y_1 + \beta y_2) + (\alpha z_1 + \beta z_2) = \alpha(0) + \beta(0) = 0$.
  - Deuxième équation : $2(\alpha x_1 + \beta x_2) + (\alpha y_1 + \beta y_2) + 2(\alpha z_1 + \beta z_2) = \alpha(0) + \beta(0) = 0$.
• Ainsi, $\alpha u + \beta v \in E_2$.
• Conclusion : $E_2$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^3$.