Sous-espaces vectoriels de $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$

On rappelle que $(\mathcal{M}_2(\mathbb{R}), +, \cdot)$ est un $\mathbb{R}$-espace vectoriel. La matrice nulle de $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ est notée $O_2$.

1. Étude de $E_1$

• $O_2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ appartient à $E_1$ car $0+0+0=0$.
• Soient $(\alpha, \beta) \in \mathbb{R}^2$ et $M, N \in E_1$ avec $M = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ et $N = \begin{pmatrix} e & f \\ g & h \end{pmatrix}$.
• On a $a+b+c=0$ et $e+f+g=0$.
• La matrice $\alpha M + \beta N = \begin{pmatrix} \alpha a + \beta e & \alpha b + \beta f \\ \alpha c + \beta g & \alpha d + \beta h \end{pmatrix}$ vérifie :
  $(\alpha a + \beta e) + (\alpha b + \beta f) + (\alpha c + \beta g) = \alpha(a+b+c) + \beta(e+f+g) = \alpha(0) + \beta(0) = 0$.
• Ainsi, $\alpha M + \beta N \in E_1$.
• Conclusion : $E_1$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$.

2. Étude de $E_2$

• La condition $x_1 + x_2 = x_4$ est équivalente à $x_1 + x_2 - x_4 = 0$.
• Cette question se traite de manière analogue à la première, car il s'agit d'une équation linéaire homogène sur les coefficients.
• La matrice nulle vérifie $0+0-0=0$.
• Conclusion : $E_2$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$.

3. Étude de $E_3$

• $O_2 \in E_3$ car ${}^tO_2 = O_2$.
• Pour tous $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ et $A, B \in E_3$ :
  ${}^t(\alpha A + \beta B) = \alpha ({}^tA) + \beta ({}^tB)$ par linéarité de la transposition.
• Comme $A, B \in E_3$, on a ${}^tA = A$ et ${}^tB = B$, d'où ${}^t(\alpha A + \beta B) = \alpha A + \beta B$.
• Conclusion : $E_3$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$.