On rappelle que $\mathbb{R}[X]$ muni de l'addition et de la multiplication par un scalaire est un $\mathbb{R}$-espace vectoriel. Le vecteur nul de $E$ est le polynÎme nul, noté $\Theta$.

Soit $(\alpha, \beta) \in \mathbb{R}^2$ et soient $P, Q$ deux polynĂŽmes de $\mathbb{R}[X]$.
  1. Cas de $E_1$ (ÉgalitĂ© de valeurs) :
    • $E_1 \subset \mathbb{R}[X]$ et $\Theta(0) = \Theta(2) = 0$, donc $\Theta \in E_1$.
    • Supposons que $P, Q \in E_1$. Alors : $$(\alpha P + \beta Q)(0) = \alpha P(0) + \beta Q(0)$$ $$(\alpha P + \beta Q)(2) = \alpha P(2) + \beta Q(2)$$
    • Comme $P(0)=P(2)$ et $Q(0)=Q(2)$, on en dĂ©duit que $(\alpha P + \beta Q)(0) = (\alpha P + \beta Q)(2)$.
    • Conclusion : $E_1$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}[X]$.

  2. Cas de $E_2$ (Équation diffĂ©rentielle polynomiale) :
    • $\Theta + \Theta' = 0 + 0 = 0$, donc $\Theta \in E_2$.
    • Si $P, Q \in E_2$, alors $P+P'=0$ et $Q+Q'=0$. Par linĂ©aritĂ© de la dĂ©rivation : $$(\alpha P + \beta Q) + (\alpha P + \beta Q)' = \alpha(P + P') + \beta(Q + Q') = \alpha(0) + \beta(0) = 0$$
    • Donc $\alpha P + \beta Q \in E_2$. Conclusion : $E_2$ est un SEV.
    • Note : Le seul polynĂŽme vĂ©rifiant cette condition est le polynĂŽme nul. $E_2 = \{\Theta\}$.

  3. Cas de $E_3$ (Divisibilité) :
    • $(X-1)$ divise $\Theta$, donc $\Theta \in E_3$.
    • Si $P, Q \in E_3$, alors $P(1) = 0$ et $Q(1) = 0$.
    • $(\alpha P + \beta Q)(1) = \alpha P(1) + \beta Q(1) = \alpha(0) + \beta(0) = 0$.
    • Le polynĂŽme $\alpha P + \beta Q$ s'annule en 1, il est donc divisible par $(X-1)$.
    • Conclusion : $E_3$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}[X]$.