Soit $(\alpha, \beta) \in \mathbb{R}^2$ et soient $u$ et $v$ deux suites de $E$.
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Cas de $E_1$ (Suites arithmétiques) :
- $E_1 \subset E$ et $\Phi$ est une suite arithmétique de raison $r=0$, donc $E_1 \neq \emptyset$.
- Si $u$ et $v$ sont arithmétiques de raisons respectives $r$ et $s$, alors pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $$u_{n+1} = u_n + r \quad \text{et} \quad v_{n+1} = v_n + s$$
- Posons $w = \alpha u + \beta v$. Pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $$w_{n+1} = \alpha(u_n + r) + \beta(v_n + s) = (\alpha u_n + \beta v_n) + (\alpha r + \beta s) = w_n + (\alpha r + \beta s)$$
- La suite $w$ est donc arithmétique de raison $(\alpha r + \beta s)$.
- Conclusion : $E_1$ est un sous-espace vectoriel de $E$.
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Cas de $E_2$ (Suites convergentes) :
- $E_2 \subset E$ et $\Phi$ converge vers 0, donc $\Phi \in E_2$.
- Si $u$ et $v$ convergent vers $\ell_1$ et $\ell_2$, alors par linéarité des limites : $$\lim_{n \to +\infty} (\alpha u_n + \beta v_n) = \alpha \lim_{n \to +\infty} u_n + \beta \lim_{n \to +\infty} v_n = \alpha \ell_1 + \beta \ell_2$$
- La limite existe et est finie, donc $\alpha u + \beta v \in E_2$.
- Conclusion : $E_2$ est un sous-espace vectoriel de $E$.
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Cas de $E_3$ (Relation de récurrence linéaire) :
- $E_3 \subset E$ et la suite nulle vérifie bien $0 = 3(0) - 4(0)$.
- Soit $w = \alpha u + \beta v$. Pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $$w_{n+2} = \alpha u_{n+2} + \beta v_{n+2} = \alpha(3u_{n+1} - 4u_n) + \beta(3v_{n+1} - 4v_n)$$ $$w_{n+2} = 3(\alpha u_{n+1} + \beta v_{n+1}) - 4(\alpha u_n + \beta v_n) = 3w_{n+1} - 4w_n$$
- La suite $w$ vérifie la relation de récurrence, donc $w \in E_3$.
- Conclusion : $E_3$ est un sous-espace vectoriel de $E$.
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Cas de $E_4$ (Suites de limite nulle) :
La démonstration est identique à celle du cas $E_2$ en posant $\ell_1 = \ell_2 = 0$. On obtient une limite finale égale à $\alpha(0) + \beta(0) = 0$. $E_4$ est donc un sous-espace vectoriel de $E$.