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Cas de $F_1$ (Ăquation diffĂ©rentielle) :
- $F_1 \subset E$ et $\Theta' + x\Theta = 0 + 0 = 0$, donc $\Theta \in F_1$.
- Soient $f, g \in F_1$. Par linéarité de la dérivation : $$(\alpha f + \beta g)' + x(\alpha f + \beta g) = \alpha(f' + xf) + \beta(g' + xg) = \alpha(0) + \beta(0) = 0$$
- Ainsi $\alpha f + \beta g \in F_1$. $F_1$ est un sous-espace vectoriel de $E$.
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Cas de $F_2$ (Intégrale nulle) :
- $F_2 \subset \mathcal{C}(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ et $\int_{-1}^1 0 \, dt = 0$, donc $\Theta \in F_2$.
- Soient $f, g \in F_2$. Par linéarité de l'intégrale : $$\int_{-1}^1 (\alpha f + \beta g)(t) dt = \alpha \int_{-1}^1 f(t) dt + \beta \int_{-1}^1 g(t) dt = \alpha(0) + \beta(0) = 0$$
- Donc $\alpha f + \beta g \in F_2$. $F_2$ est un sous-espace vectoriel de $E$.
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Cas de $F_3$ (Invariance par homothétie) :
- $F_3 \subset \mathcal{C}(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ et $\Theta(x) = \Theta(2x) = 0$, donc $\Theta \in F_3$.
- Soient $f, g \in F_3$. Pour tout $x \in \mathbb{R}$ : $$(\alpha f + \beta g)(2x) = \alpha f(2x) + \beta g(2x) = \alpha f(x) + \beta g(x) = (\alpha f + \beta g)(x)$$
- La condition d'invariance est vérifiée, donc $\alpha f + \beta g \in F_3$.
- Conclusion : $F_3$ est un sous-espace vectoriel de $E$.
On désigne par $\Theta$ la fonction nulle et on considÚre $(\alpha, \beta) \in \mathbb{R}^2$.