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Cas de $F_1$ (Fonctions bornées) :
- $F_1 \subset E$ et $\Theta \in F_1$ car $|\Theta(x)| = 0$, donc $F_1 \neq \emptyset$.
- Soient $f, g \in F_1$. Il existe $M_f, M_g > 0$ tels que $|f| \leqslant M_f$ et $|g| \leqslant M_g$.
- $|\alpha f + \beta g| \leqslant |\alpha||f| + |\beta||g| \leqslant |\alpha|M_f + |\beta|M_g$.
- La combinaison linéaire est bornée, donc $F_1$ est un sous-espace vectoriel de $E$.
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Cas de $F_2$ (Fonctions majorées) :
- $F_2$ n'est pas un sous-espace vectoriel de $E$.
- Pour ĂȘtre un sous-espace vectoriel, l'ensemble doit ĂȘtre stable par multiplication par un scalaire ($\forall \lambda \in \mathbb{R}, \forall f \in F_2, \lambda f \in F_2$).
- Contre-exemple : Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = -x^2$. Elle est majorée par $0$ sur $\mathbb{R}$, donc $f \in F_2$.
- Prenons le scalaire $\lambda = -1$. La fonction $\lambda f$ est définie par $(\lambda f)(x) = x^2$.
- Cette fonction n'est pas majorée sur $\mathbb{R}$ ($\lim_{x \to +\infty} x^2 = +\infty$).
- Donc $-1 \cdot f \notin F_2$, ce qui prouve que $F_2$ n'est pas un sous-espace vectoriel.
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Cas de $F_3$ (Fonctions paires) :
- $F_3 \subset E$ et $\Theta(-x) = \Theta(x) = 0$, donc $\Theta \in F_3$.
- $(\alpha f + \beta g)(-x) = \alpha f(-x) + \beta g(-x) = \alpha f(x) + \beta g(x) = (\alpha f + \beta g)(x)$.
- La fonction est paire, donc $F_3$ est un sous-espace vectoriel de $E$.
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Cas de $F_4$ (1-périodicité) :
- $F_4 \subset E$ et $\Theta(x+1) = \Theta(x) = 0$.
- $(\alpha f + \beta g)(x+1) = \alpha f(x+1) + \beta g(x+1) = \alpha f(x) + \beta g(x) = (\alpha f + \beta g)(x)$.
- La fonction est 1-périodique, donc $F_4$ est un sous-espace vectoriel de $E$.
On désigne par $\Theta$ la fonction nulle. Soient $(\alpha, \beta) \in \mathbb{R}^2$.