On considĂšre les ensembles suivants :
  • $~H_1=\left\{ (x;y;z)\in\Bbb R^3 \ /\ x(y+z)=0\right\}$
  • $~H_2=\left\{ f\in\mathcal{F}(\Bbb R~;~\Bbb R) \ /\ \exists x\in\Bbb R \ /\ f(x)=0\right\}$
  • $~H_3$, ensemble des suites rĂ©elles monotones.
  • $~H_4,~ $ensemble des matrices non inversibles de $~\mathcal{M}_2(\Bbb R)$.
  • $~H_5$, ensemble des suites rĂ©elles gĂ©omĂ©triques.
  1. VĂ©rifier que chacun des ensembles ci-dessus contient le vecteur nul.
  2. Justifier que ces ensembles sont stables par multiplication par un réel.
  3. VĂ©rifier que ces ensembles ne sont pas stables par addition.
  4. Que pouvez-vous en déduire ?
    • $0\times(0+0)=0$,~ donc ~$(0,0,0)\in H_1.$
    • La fonction nulle $\Theta$ vĂ©rifie bien $\Theta(0)=0.~$ Donc $\Theta\in H_2.$
    • La suite nulle est une suite monotone (Ă  la fois croissante et dĂ©croissante), donc elle appartient Ă  $H_3$.
    • La matrice nulle n'est pas inversible, donc elle appartient Ă  $H_4$.
    • La suite nulle, est gĂ©omĂ©trique, de raison $~q~$ quelconque, $~(~u_n=0\cdot q^n~)$.
      Elle appartient donc Ă  $~H_5~$.
  2. Soit $~\lambda\in\Bbb R.~$
  3. Pour $(x,y,z)\in H_1,$ on a $\lambda(x,y,z)=(\lambda x,\lambda y,\lambda z)$ et, $\lambda x(\lambda y+\lambda z)=\lambda^2 x(y+z)=\lambda^2\times 0=0$,~ donc ~$\lambda(x,y,z)\in H_1.$
  4. Soit $f\in H_2$, il existe alors un réel $x$ tel que $f(x)=0$, on a aussi $\lambda f(x)=\lambda\times 0=0$. Donc $\lambda f\in H_2.$
  5. Si $(u_n)$ est une suite monotone, alors la suite $ (\lambda u)_n$ est Ă©galement monotone (de mĂȘme sens de variation que $(u_n)$ si $\lambda\geqslant 0$ et de sens de variation contraire Ă  celui de $(u_n)$ si $\lambda <0$). Donc la suite $ (\lambda u)_n$ appartient Ă  $H_3$.
  6. Si une matrice $M\in\mathcal{M}_2(\Bbb R)$ n'est pas inversible, alors la matrice $\lambda M$ n'est pas inversible. En effet, dét$(\lambda M)=\lambda^2$ det$(M)=\lambda^2\times 0=0$. Donc $\lambda M$ appartient à $H_4$.
  7. Si $(u_n)$ est une suite gĂ©omĂ©trique de raison $q~~(u_n=u_0q^n)~~$, alors la suite $~(\lambda u)_n=(\lambda u_0)q^n$ est gĂ©omĂ©trique de mĂȘme raison $q$. Cette derniĂšre appartient donc Ă  $H_5$.

    • $(0,1,2)$ et $(1,-1,1)$ sont des vecteurs de $H_1,$ mais $(0,1,2)+(1,-1,1)=((1,1,3)\notin H_1.$
    • la fonction $f~:~x\mapsto~x^2~$ s'annule en $0$ et la fonction $g~:~x\mapsto~x+1~$ s'annule en $-1$ mais leur somme $f+g~=~:~x~\mapsto~x^2+x+1~$ ne s'annule jamais !
    • La suite $u$ dĂ©finie par $u_n=3n+(-1)^n$ est croissante, en effet, $\forall n\in\Bbb N,~~u_{n+1}-u_n=3-2\times(-1)^n\geqslant 3-2>0$, et la suite $v$ dĂ©finie par $v_n=-3n$ est dĂ©croissante, mais leurs somme $w=u+v$ dĂ©finie par $w_n=(-1)^n$ n'est pas monotone.
    • Les matrices: $$A=\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 0\end{pmatrix}\qquad B=\begin{pmatrix}0 & 0\\0 & 1 \end{pmatrix}$$ ne sont pas inversibles, mais leur somme est la matrice unitĂ© I qui est inversible.
      Donc $H_4$ n'est pas stable par addition.
    • Les suites $u=1$ et $v$ dĂ©finie par $v_n=2^n$ sont gĂ©omĂ©triques, mais pas leur somme $w$ dĂ©finie par $w_n=1+2^n$.
  9. Tous ces ensembles ne sont pas stables par addition et ne sont donc pas des espaces vectoriels.