1. Facile à vérifier.

    • La somme de deux nombres relatifs est un nombre relatif.
    • La somme de deux nombres rationnels est un nombre rationnel.
    • $\big(x\geqslant y~$ et $~x'\geqslant y'\big)~\Longrightarrow~ x+x'\geqslant y+y'. $
    • Si $f$ et $g$ sont deux fonctions rĂ©elles positives ou nulles, alors $f+g$ est une fonction rĂ©elle positive ou nulle.
    • Si $u$ et $v$ sont deux suites rĂ©elles croissantes, alors $u+v$ est Ă©galement une suite croissante.
    • $1\in \Bbb Z\subset\Bbb Q$ mais $1\times\sqrt{2}=\sqrt{2}\notin\Bbb Q$. Donc $G_1$ et $G_2$ ne sont pas stables par multiplication par un rĂ©el.
    • $(2,1)\in G_3$, mais $(-1)\times (2,1)=(-2,-1)\notin G_3$.
    • la fonction $f~:~\mapsto~x^2+1~$ est positive, mais la fonction $(-1)\times f~=~g~:~\mapsto~-x^2-1~$est strictement nĂ©gative !
    • De la mĂȘme façon que la question prĂ©cĂ©dente, la suite $u$ dĂ©finie par $u_n=n$ est croissante, mais la suite $v=-u$ dĂ©finie par $v_n=-n$ est strictement dĂ©croissante.
  4. Tous ces ensembles ne sont pas stables par multiplication par un scalaire et ne sont donc pas des espaces vectoriels.