On considĂšre les ensembles suivants :
  • $E_1=\left\{ (x;y;z)\in\R^3 \ /\ x+y+z=1\right\}$
  • $E_2=\{P\in\mathbb R[X]~~\text{tel que}~~ P(0)=2\}$.
  • $E_3=\left\{\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{pmatrix}\in M_2(\mathbb R):\ ad-bc=1\right\}$
  • $F_1=\left\{ f\in\mathcal{F}(\Bbb R~;~\Bbb R) \ /\ \exists x\in\Bbb R \ /\ f(x)=1\right\}$
  • $F_2,~$ ensemble des suites divergentes.
  • $F_3,~$ ensemble des solutions de l'Ă©quation diffĂ©rentielle: $$y'+xy=1$$.
  1. Pour chacun des ensembles ci-dessus, vérifier que le vecteur nul n'en fait pas partie.
  2. Que pouvez-vous en déduire ?
  1. Le vecteur nul de $E_1$ est $(0,0,0)$, et $0+0+0=0\not=1.$ Donc $(0,0,0)\notin E_1.$ Ainsi $\left(E_1~,~+~,~\textbf{.}\right)$ n'est pas un espace vectoriel sur $\Bbb R.$
  2. Ici le vecteur nul est le polynĂŽme nul, on le note ici $\Theta$.
    Or $~\Theta(0)=0\not=2.$
    Donc $\Theta\notin E_2~$ qui n'est donc pas un espace vectoriel sur $~\Bbb R.$
  3. Le vecteur nul de $M_2(\mathbb R)$ est la matrice nulle, or son déterminant est égal à 0, donc cette matrice n'appartient pas à $E_3$ qui, par conséquent, n'est pas un $\Bbb R-$espace vectoriel.
  4. Le vecteur nul de $\mathcal{F}(\Bbb R~;~\Bbb R)$ est la fonction nulle, celle-ci ne prend jamais la valeur 1.
    Elle n'appartient donc pas Ă  $F_1~$ qui n'est donc pas un espace vectoriel.
  5. La suite nulle converge vers 0, elle n'appartient donc pas Ă  $F_2$.
  6. La fonction nulle n'est pas solution de l'équation différentielle donnée. et donc $F_3$ n'est pas un espace vectoriel sur $\Bbb R.$