1. On pose: $$~~c_n=\sum\limits_{k=1}^n{\cos(k\theta)}\qquad \text{et} \qquad s_n=\sum\limits_{k=0}^n{\sin(k\theta)}$$ Calculons: $$z_n=\sum\limits_{k=1}^n{c_n+is_n}$$ On a: \begin{align*} z_n&=c_n+is_n\\ z_n&=\sum\limits_{k=1}{(\cos(k\theta)+i\sin(k\theta))}\\ z_n&=\sum\limits_{k=1}^n{e^{ik\theta}}\\ z_n&=\dfrac{e^{i(n+1)\theta}-1}{(e^{i\theta})-1}\\ z_n&=\left(\dfrac{e^{i\frac{(n+1)\theta}{2}}}{e^{i\frac{\theta}{2}}}\right)\left(\dfrac{e^{i\frac{(n+1)\theta}{2}}-e^{-i\frac{(n+1)\theta}{2}}}{e^{i\frac{\theta}{2}}-e^{-i\frac{\theta}{2}}}\right)\\ z_n&=e^{i\frac{n\theta}{2}}\left( \dfrac{2i\sin(\frac{(n+1)\theta}{2})}{2i\sin(\frac{\theta}{2})} \right)\\ z_n&=e^{i\frac{n\theta}{2}}\left( \dfrac{\sin(\frac{(n+1)\theta}{2})}{\sin(\frac{\theta}{2})} \right) \end{align*} On en déduit: \begin{cases} c_n=\dfrac{\cos(\frac{n\theta}{2})\sin(\frac{(n+1)\theta}{2})}{\sin(\frac{\theta}{2})}\\\\ s_n=\dfrac{\sin(\frac{n\theta}{2})\sin(\frac{(n+1)\theta}{2})}{\sin(\frac{\theta}{2})} \\ \end{cases}
    1. On sait que: $$~~\cos^2(k\theta)=\dfrac{1+\cos(2k\theta)}{2}$$ En posant $\alpha=2\theta$ il vient: $$\sum\limits_{k=0}^n{\cos^2(\theta)}=\sum\limits_{k=0}^n{\dfrac{1+\cos(k\alpha)}{2}}=\dfrac{n+1}{2}+\dfrac{1}{2}c_n(\alpha)$$ En remplaçant: $$\boxed{\color{magenta}\sum\limits_{k=0}^n{\cos^2(k\theta)}=\dfrac{n+1}{2}+\dfrac{\cos(n\theta)\sin((n+1)\theta)}{2\sin(\theta)}}$$
    2. De mĂȘme on a: $$~~\sin^2(k\theta)=\dfrac{1-\cos(2k\theta)}{2}$$ Et donc: $$\boxed{\color{magenta}\sum\limits_{k=0}^n{\sin^2(k\theta)}=\dfrac{n+1}{2}-\dfrac{\cos(n\theta)\sin((n+1)\theta)}{2\sin(\theta)}}$$
  3. Il est bien connu que: $$\begin{cases} \lim\limits_{x~\to~0}\dfrac{sin(x)}{x}=1\\ \\ \lim\limits_{x~\to~0}\dfrac{1-cos(x)}{x^2}=\dfrac{1}{2} \\ \end{cases} Ce qui implique: \begin{cases} \lim\limits_{x~\to~0}\dfrac{sin(kx)}{x}=k\\\\ \lim\limits_{x~\to~0}\dfrac{1-cos(kx)}{x^2}=\dfrac{k^2}{2} \\ \end{cases}
    • On a: $$\sum\limits_{k=0}^n{\dfrac{\sin(k\theta)}{\theta}}=\dfrac{\sin(\frac{n\theta}{2})\sin(\frac{(n+1)\theta}{2})}{\theta\sin(\frac{\theta}{2})}$$ lorsque $\theta$ tend vers 0, le membre de gauche a pour limite: $$\lim\limits_{\theta\to 0}{\sum\limits_{k=0}^n{\dfrac{\sin(k\theta)}{\theta}}}=\sum\limits_{k=1}^n{k}$$ Tandis que le membre de droite a pour limite: $$\dfrac{\left(\dfrac{n}{2}\right)\left(\dfrac{n+1}{2}\right)}{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{n(n+1)}{2}$$ On retrouve donc la somme bien connue: $$\sum\limits_{k=1}^n{k}=\dfrac{n(n+1)}{2}$$
    • D'aprĂšs ce qui prĂ©cĂšde on a: $$\sum\limits_{k=0}^n{\sin^2(k\theta)}=\dfrac{n+1}{2}-\dfrac{\cos(n\theta)\sin((n+1)\theta)}{2\sin(\theta)}$$ En divisant par $\theta^2$: $$\sum\limits_{k=0}^n{\dfrac{\sin^2(k\theta)}{\theta^2}}=\dfrac{1}{\theta^2}\left(\dfrac{n+1}{2}-\dfrac{\cos(n\theta)\sin((n+1)\theta)}{2\sin(\theta)}\right)$$ Par passage Ă  la limite ($\theta~$ tend vers $0$): $$\sum_{k=1}^n{k^2}=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$