- Le système d'équations: \begin{cases} \cos a +\cos b +\cos c=0\\\\ \sin a +\sin b +\sin c=0 \end{cases} est équivalent à: $$e^{ia}+e^{ib}+e^{ic}=0$$ En passant aux conjugués on obtient: $$e^{-ia}+e^{-ib}+e^{-ic}=\dfrac{1}{e^{ia}}+\dfrac{1}{e^{ib}}+\dfrac{1}{e^{ic}}=0$$ Ce qui implique: \begin{align*} \dfrac{1}{e^{ia}}+\dfrac{1}{e^{ib}}+\dfrac{1}{e^{ic}} & = \dfrac{e^{ia} e^{ib} + e^{ia}e^{ic}+ e^{ib}e^{ic}}{e^{ia} e^{ib} e^{ic}}=0\\ \dfrac{1}{e^{ia}}+\dfrac{1}{e^{ib}}+\dfrac{1}{e^{ic}} &=\dfrac{e^{i(a+b)}+e^{i(a+c)}+e^{i(b+c)}}{e^{i(a+b+c)}}=0\\ \end{align*} On en déduit: $$e^{i(a+b)}+e^{i(a+c)}+e^{i(b+c)}=0\quad (1)$$ D'autre part: $$0=(e^{ia}+e^{ib}+e^{ic})^2=e^{i2a}+e^{i2b}+e^{i2c}+2(e^{i(a+b)}+e^{i(a+c)}+e^{i(b+c)})$$ En tenant compte de (1) on obtient: $$e^{i2a}+e^{i2b}+e^{i2c}=0$$ Ce qui équivaut à: $$\cos 2a + \cos 2b + \cos 2c =\sin 2a +\sin 2b +\sin 2c=0$$