- Considérons le système d'équation suivant:
$$(1)\quad\begin{cases} \cos x +\cos y x =a \\ \sin x +\sin y=b \\
\end{cases}$$
Ecrivons ce système sous une forme complexe équivalente:
$$(\cos x +\cos y)+i(\sin x +\sin y)=a+ib\quad (2)$$
Soit:
$$~~e^{ix}+e^{iy}=a+ib \quad (3)$$
Il convient de dire que les équations (1),(2) et (3) sont équivalentes.
D'une part on a: \begin{align*} a+ib&=e^{ix}+e^{iy}\\ a+ib&=e^{ix}(1+e^{i(y-x)})\\ a+ib&=e^{ix}e^{(\frac{y-x}{2})}\left(e^{-i(\frac{y-x}{2})}+e^{i(\frac{y-x}{2})}\right)\\ a+ib&=e^{i(\frac{x+y}{2})}2\cos\left(\frac{x-y}{2}\right) \end{align*} En posant: $$\alpha=\dfrac{x+y}{2} \qquad\text{ et }\qquad \beta=\dfrac{x-y}{2}$$ il vient: $$a+ib=2\cos(\beta)e^{i\alpha}\qquad (4)$$ Il importe de remarque que la fonction définie par:\\ \begin{align*} f:\mathbb{R}^2&\longrightarrow \mathbb{R}^2\\ (x,y)&\longmapsto (\alpha,\beta)=(\frac{x+y}{2},\frac{x-y}{2}) \end{align*} est une bijection de $~~\mathbb{R}^2~~$ dans $~~\mathbb{R}^2$
D'autre part: $$|a+ib|^2=a^2+b^2=4\cos^2(\beta)\qquad \text{(d'après (4))}$$ La condition nécessaire et suffisante est donc: $$0\leq a^2+b^2\leq 4$$ - On a:
$$~~a^2+b^2=\dfrac{6}{4}+\dfrac{1}{4}=2\leq 4$$
Donc le système admet des solutions et on a:
\begin{align*}
a+ib&=\dfrac{\sqrt{2}}{2}+i\dfrac{\sqrt{6}}{2}\\
a+ib&=\sqrt{2}(\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2})\\
a+ib&=\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{3}}
\end{align*}
Par la suite:
$$2\cos(\beta)e^{i\alpha}=\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{3}}$$
On a 2 cas:
- premier cas:
$~~(~\cos(\beta) = \frac{1}{\sqrt{2}}~)~~$
Dans cas on a: \begin{cases} \beta= (-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{42})+m2\pi \\\\ \alpha=\frac{\pi}{3}+n2\pi \end{cases} Ce qui implique \begin{cases} x&=(\frac{\pi}{12},\frac{7\pi}{12})+l2\pi\\\\ y&=(\frac{7\pi}{12},\frac{\pi}{12})+k2\pi \end{cases} - Deuxième cas: $~~\cos(\beta)=-\frac{1}{\sqrt{2}}$
Dans ce cas on a: \begin{cases} \beta&= (-\frac{3\pi}{4},\frac{3\pi}{4})+m2\pi\\\\ \alpha&=\pi+\frac{\pi}{3}+n2\pi=\frac{4\pi}{3}+n2\pi \\ \end{cases} Ce qui implique: \begin{cases} x=(\frac{7\pi}{12},\frac{25\pi}{12})+l~2\pi=(\frac{7\pi}{12},\frac{\pi}{12})+l~2\pi\\ \\y=(\frac{\pi}{12},\frac{7\pi}{12})+k~2\pi \end{cases}
- premier cas:
$~~(~\cos(\beta) = \frac{1}{\sqrt{2}}~)~~$