Considérons tout d'abord l'équation: $$z^2+z+1=0\qquad $(\mathcal E)$$ si $~w~$ est une racine de $~(\mathcal E)~$ alors, $~w~$ est une racine cubique de l'unité avec $~(z\neq 1)~$ puique: $$0=(z-1)(z^2+z+1)=z^3-1$$ $w~$ n'est pas réel puique $~(\mathcal E)~$ est équivalente: $$(2w+1)^2=-3 \qquad (\mathcal E_2)$$ De plus: $$w\cdot w^2=1\Longrightarrow \bar w=w^2=-(1+w)$$ Ce qui implique: $$\bar w=(2w+1)=\pm i\sqrt 3$$ qui n'admet pas de solution réelle.
    D'autre part:
    $(\Im m (w)\neq 0)~$ puisque: \begin{align*} 2\Im m (w)&=w-\bar w\\ 2\Im m (w)&=w+(w+1)\\ 2\Im m (w)&=2w+1\\ 2\Im m (w)&=\pm \sqrt 3 \end{align*}
  1. Soit $~~z\in \Bbb C~~$, pour montrer l'éxistence d'un unique $~~(a,b)\in \Bbb R^2~~$ tel que: $$z=a+bw$$ On va utiliser 2 méthode:

    • Méthode utilisant la notion d'espace vectoriel:
      On sait que $~\Bbb C~$ muni de l'addition et de la multiplication par un scalaire réel est un $~\Bbb R-$espace vectoriel de dimension 2 dont, $~(1,i)~$, en constitue une base.
      Pour montrer que $~(1,w)~$ est aussi une base $~\Bbb C~$ il suffit de montrer que $~(1,w)~$ est un système libre.
      En effet, soit $~(a,b)~$ dans $~\Bbb R~$ tels : $$a+bw=0$$ il est clair que Si $~(b\neq 0)~$ alors, $~(a=-bw)~$ est aussi différent de $0$.
      Et dans ce cas on aura, $~(w=-\frac{b}{a})\in \Bbb R,~$.
      Ce qui mène une contradiction!
      Alors on doit forcément avoir $~(b=0)~$. ce qui implique, $~(a=0)$
      Donc: $$a=b=0$$ Par conséquent le système $~(1,w)~$ est libre. et donc constitue une base de $\Bbb C$.
      Par la suite tout élément $~z~$ de $~\Bbb C~$ s'écrit de manière unique comme combinaison linéaire de $(1,w)$.
      Soit: $$z=a+bw$$
    • Méthode direct:
    $$z=a+bw~$$ Alors on a: \begin{cases} z&=a+bw \\\bar z&=a+b\bar w \\ \end{cases} Par conséquent: \begin{cases} \dfrac{z-\bar{z}}{2i}&=b\left(\dfrac{w-\bar{w}}{2i}\right) \\\\\dfrac{z+\bar{z}}{2}&=a+b\left(\dfrac{w+\bar{w}}{2}\right) \\ \end{cases} Ce qui donne: \begin{cases} \Im m (z)&=b\Im m (w) \\\Re e(z)&=a+b\Re e(w) \\ \end{cases} Et si on pose: $$\begin{cases} z&=x+iy \\ w&=w_r+iw_i \\ \end{cases}\quad $$ on obtient: $$\quad \begin{cases} b=\dfrac{y}{w_i} \\a=x-y\dfrac{w_r}{w_i} \\ \end{cases}$$ Rappelez-vous que, $~~(~w_i=\Im m (w)\neq 0~)$
  2. On a:
    \begin{align*} \dfrac{7+5w+3w^2}{1-2w}&=\dfrac{4+2w+(3+3w+3w^2)}{1-2w}\\ \dfrac{7+5w+3w^2}{1-2w}&=\dfrac{4+2w+3(1+w+w^2))}{1-2w}\\ \dfrac{7+5w+3w^2}{1-2w}&=\dfrac{4+2w}{1-2w} \end{align*} Et on a: \begin{align*} \dfrac{4+2w}{1-2w}&=a+bw\\ 4+2w&=(1-2w)(a+bw)\\ 4+2w&=a+bw-2aw-2bw^2\\ 4+2w&=a+(b-2a)w-2b(-1-w)\qquad \text{car: }~ w^2=-(1+w)\\ 4+2w&=(a+2b)+(3b-2a)w\\ \end{align*} Ce qui implique: \begin{cases} a+2b&=4\\\\3b-2a&=2 \end{cases} Ce qui donne: \begin{cases} a&=\dfrac{8}{7}\\\\ b&=\dfrac{10}{7} \end{cases} Et enfin: $$\dfrac{7+5w+3w^2}{1-2w}=\dfrac{8}{7}+\dfrac{10}{7}~w$$