1. $f(z)~~$ est un réel s'il existe $~~\alpha\in \mathbb{R}$ tel que: $$\dfrac{z-i}{iz-1}=\alpha$$ Et donc: $$\dfrac{z-i}{i(z+i)}=\alpha$$ Par conséquent:
    $$\dfrac{z-i}{z+i}=i\alpha\qquad (1) $$ est un imaginaire pur.
    D'aprĂšs le cours, on en dĂ©duit que $~~z~~$ appartient au cercle de diamĂštre le segment $[AB]~~$ oĂč $~~A(-i)~~$ et $~~B(i)$
    ("On pourrait remarquer que l'égalité (1) est équivalente à: $$\widehat{(\overrightarrow{AM},\overrightarrow{BM})}=\dfrac{\pi}{2}$$ Ce qui veut dire que le point $M(z)$ 'voit' le segment [AB] à travers un angle droit et donc $M$ appartient au cercle de diamÚtre $AB$")
    Et on a:
    • Le diamĂštre du cercle: $$D=AB=|i-(-i)|=2$$
    • Son rayon est: $$R=1$$.
    • Le centre du cercle est $~~O~~$

    Conclusion:

    L'ensemble des points pour lesquels $~~f(z)~~$ est un réel, est, le cercle $~~\mathcal{C}(O,1)$
  2. Nous avons: $$f(z)=1\Longleftrightarrow \dfrac{z-i}{iz-1}=1$$ Et donc: $$z-i=iz-1$$ Ce qui Ă©quivaut Ă : $$(1-i)z=-1+i$$ Soit: $$z=-1$$