Soit:
  • $u=e^{i\frac{2\pi}{11}}$
  • $A=u+u^3+u^4+u^5+u^9$
  • $B=u^2+u^6+u^7+u^8+u^{10}$
  1. On a: $$ u^{11}=e^{i2\pi}=1\quad$$ Et par la suite: $$ u\cdot u^{10}=1$$ Et donc: $$\bar{u}=u^{10}$$
  2. de la mĂȘme maniĂšre on montre que les conjuguĂ©es de $~~(u^3,u^4,u^5,u^9)~~$ sont respectivement $~~(u^8,u^7,u^6,u^2)$
  3. On a: $$\overline{A}=\overline{u}+\overline{u^3}+\overline{u^4}+\overline{u^5}+\overline{u^9}=u^{10}+u^8+u^7+u^6+u^2$$ On en déduit que: $\quad \overline{A}=B$
  4. Posons $~x=\dfrac{2\pi}{11}~$
    1. La partie imaginaire de $~A~$ est donnée par: $$\Im{m}(A)=\sin(x)+\sin(3x)+\sin(4x)+\sin(5x)+\sin(9x)$$ Or: $$\sin(9x)=-\sin(2x)$$ Et donc: $$\Im{m}(A)=\sin(x)+\sin(3x)+\sin(4x)+\sin(5x)-\sin(2x)$$ Les angles $~(x,3x,4x,5x)~$ sont strictement compris entre $~0~$ et $~\pi~$ et donc leurs sinus respectifs sont positifs; tandis que $~~\sin(9x)$ est négatif.
    2. D'autres part: $$\begin{cases} \sin(3x)=\sin(\frac{6\pi}{11})=\sin(\frac{5\pi}{11})\\ sin(2x)=\sin(\frac{4\pi}{11}) \\ \end{cases}$$ Ce qui montre que: $$~~\sin(3x)>\sin(2x)\qquad\left(~~\text{car:} ~~ 0<\frac{4\pi}{11}<\frac{5\pi}{11}<\frac{\pi}{2}~~\right)$$ Par conséquent: $$\Im{m}(A)=\left(\sin(x)+\sin(4x)+\sin(5x)+(~\sin(3x)-\sin(2x)~)~\right)>0$$
  5. On a: $$1+A+B=1+u+u^2+\cdots +u^{10}$$ Et Donc: $$(1-u)(1+A+B)=1-u^{11}=0$$ Et comme $~~u\neq 1~~$ alors on doit avoir: $$1+A+B=0$$ Soit: $A+B=-1$
    D'un autre cÎté: \begin{align*} A^2&=(u+u^3+u^4+u^5+u^9)^2\\ A^2&=(u^2+u^6+u^8+u^{10}+u^7)+2(u^4+u^5+u^6+u^{10}+u^7+u^8+u+u^9+u^2+u^3)\\ A^2&=B+2(A+B) \end{align*} Soit: $$~~A^2=-2+B$$ En plus On a: \begin{align*} -A&=A(A+B)\\ -A&=A^2+AB\\ -A&=(-2+B)+AB \end{align*} Et donc: $$AB=-(A+B)+2$$ Soit: $$AB=3$$
  6. D'aprÚs ce qui précÚde on a:

    \begin{cases} A+B&=-1\\AB&=3 \end{cases} Et donc, A et B, sont les racines de l'équation: $$x^2+x+3=0$$ Ces sont calculées comme suit: \begin{cases} x_1&=\dfrac{-1-i\sqrt{11}}{2}\\ x_2&=\dfrac{-1+i\sqrt{11}}{2} \end{cases} Rappelons que la partie imaginaire de A est positive.
    Ceci nous permet de dire: \begin{cases} A=\dfrac{-1+i\sqrt{11}}{2}\\ B=\dfrac{-1-i\sqrt{11}}{2} \end{cases}
  7. Posons: $$ S=\displaystyle\sum_{k=1}^{10}\left(-u^3\right)^k$$
    1. On a: $$1+S=\displaystyle\sum_{k=0}^{10}\left(-u^3\right)^k=\dfrac{1-(-u^3)^{11}}{1-(-u^3)}$$ Par la suite: $$1+S=\dfrac{1}{1+u^3}\quad \text{(car: }~~u^{11}=1)$$ Soit: $$~~S=\dfrac{1-u^3}{1+u^3}$$ D'un autre cÎté, il est facile de voir que: \begin{cases} 1-e^{i2x}&=-2i\sin(x)~e^{ix}\\ 1+e^{i2x}&=2\cos(x)~e^{ix} \\ \end{cases} Soit \begin{cases} 1-u^3&=1-e^{i\frac{6\pi}{11}} \\1+u^3&=1-e^{i\frac{6\pi}{11}} \end{cases} Ce qui implique \begin{cases} 1-u^3&=-2i\sin(\frac{3\pi}{11})e^{i\frac{3\pi}{11}}\\ \\1+u^3&=2\cos(\frac{3\pi}{11})e^{i\frac{3\pi}{11}} \end{cases} Par conséquent: $$~~S=-i\displaystyle\tan\left(\dfrac{3\pi}{11}\right)$$
    2. En développant S et en groupant les puissances paires et impairs dans des parenthÚses différentes, il vient: \begin{align*} S&=(u^6+u^{12}+u^{18}+u^{24}+u^{30})-(u^3+u^9+u^{15}+u^{21}+u^{27})\\ S&=(u+u^2+u^6+u^7+u^8)-(u^3+u^4+u^5+u^9+u^{10})\\ S&=(u^2+u^6+u^7+u^8+u^{10})-(u+u^3+u^4+u^5+u^9)+2u-2u^{10} \end{align*} Soit: $$\quad S=B-A+2(u-u^{10})$$
    3. On a: $$\quad B-A=\dfrac{-1-i\sqrt{11}}{2}-\dfrac{-1+i\sqrt{11}}{2}$$ Soit: $$ B-A=-i\sqrt{11}$$ d'autre part: $$u-u^{10}=u-\bar{u}=2i\sin\left(\frac{2\pi}{11}\right)$$ Et donc: $$S=-i\sqrt{11}+2\left(2i\sin\left(\frac{2\pi}{11}\right)\right)$$ Par la suite: $$ S=-i\tan(\frac{3\pi}{11})=-i\sqrt{11}+4i\sin(\frac{2\pi}{11})$$ On en déduit: $$\tan\left(\frac{3\pi}{11}\right)+4\sin\left(\frac{2\pi}{11}\right)=\sqrt{11}$$