Bac France-Guadeloupe 1998:

Partie A:


    1. On considère le polynôme défini par: $$P(z)=z^4+2\sqrt{3}z^3+8z^2+2\sqrt{3}z+7$$ D'une part: $$P(i)=1-2\sqrt{3}i-8+2\sqrt{3}i+7$$ Soit: $$P(i)=0$$ D'autre part: $$p(-i)=1+2\sqrt{3}i-8-2\sqrt{3}i+7=0$$ Soit: $P(-i)=0$
    2. Puisque i et -i sont deux racines distinctes de $~~P(z)~~$ alors $~~P(z)~~$ est divisible par: $$(z-i)(z+i)=z^2+1$$ Pour déterminer Q(z) on pourrait effectuer une division euclidienne de $~~P(z)~~$ par $~~(z^2+1)~~$ où essayer une factorisation.
      On va essayer la dernière méthode (la factorisation): \begin{align*} P(z)&=z^4+2\sqrt{3}z^3+8z^2+2\sqrt{3}z+7\\ P(z)&=(z^4+z^2)+2\sqrt{3}(z^3+z)+(7z^2+7)\\ P(z)&=z^2(z^2+1)+2\sqrt{3}z(z^2+1)+7(z^2+1)\\ P(z)&=(z^2+1)(z^2+2\sqrt{3}z+7) \end{align*} Par la suite: $$Q(z)=z^2+2\sqrt{3}z+7$$
  2. On a: $$P(z)=0\Longleftrightarrow (~z^2+1=0~) \qquad \text{ ou } \qquad (~Q(z)=0~).$$ Cherchons les racines de $~~Q(z)$. \begin{align*} z^2+2\sqrt{3}z+7&=0\\ (z+\sqrt{3})^2+4&=0\\ (z+\sqrt{3}-2i)(z+\sqrt{3}+2i)&=0 \end{align*} Par conséquent: \begin{cases} z&=-\sqrt{3}+2i\\ &\boxed{\text{ou}} \\z&=-\sqrt{3}-2i \end{cases} L'ensemble S des racines de $~P(z)~$ est: $$~~S=\lbrace ~i~,~-i~,~-\sqrt{3}+2i~,~-\sqrt{3}-2i~\rbrace$$

Partie B:

  1. Le centre du cercle de diamètre [CD] a pour affixe: $$z_0=\dfrac{z_C+z_D}{2}=-\sqrt{3}$$ $|z_A-z_0|=|i+\sqrt{3}|=2$
    $|z_B-z_0|=|-i+\sqrt{3}|=2$
    $|z_C-z_0|=|(-\sqrt{3}+2i)+\sqrt{3}|=|2i|=2$
    $|z_D-z_0|=|(-\sqrt{3}-2i)+\sqrt{3}|=|-2i|=2$

    On en déduit donc les 4 $~~(A,B,C,D)~~$ appartiennent au cercle ayant pour centre le point d'affixe $(-\sqrt 3~)$ et de rayon 2

    graphique
    Représentation graphique

  2. On a: $$~~|z_c -0|=|z_D-0|=\sqrt{7}~~$$ Alors, il existe une rotation de centre $~~O(0)~~$ qui transforme $C$ en $D$.
    L'angle de cette rotation est donnée par l'argument de $~~Z~~$ tel que: \begin{align*} Z&=\dfrac{z_D-0}{z_C-0}\\ Z&=\dfrac{-\sqrt{3}-2i}{-\sqrt{3}+2i}\\ Z&=\dfrac{3-4+4\sqrt{3}i}{7} \end{align*} Soit: $$Z=-\dfrac{1}{7}+\dfrac{4\sqrt{3}}{7}~i$$ et on a: $$\arg Z=\arctan(-4\sqrt{3})$$
    Soit en utilisant une calculatrice: $$~~\arg Z\sim -82^\circ$$
  3. On a: \begin{align*} \dfrac{z_B-z_C}{z_A-z_C}&=\dfrac{-i-(-\sqrt{3}+2i)}{i-(-\sqrt{3}+2i)}\\ \dfrac{z_B-z_C}{z_A-z_C}&=\dfrac{\sqrt{3}-3i}{\sqrt{3}-i}\\ \dfrac{z_B-z_C}{z_A-z_C}&=\sqrt{3}~~~\dfrac{\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}}\\ \dfrac{z_B-z_C}{z_A-z_C}&=\sqrt{3}~~~\dfrac{e^{-i\frac{\pi}{3}}}{e^{-i\frac{\pi}{6}}} \end{align*} Soit: $$\dfrac{z_B-z_C}{z_A-z_C}=\sqrt{3}e^{-i\frac{\pi}{6}}$$ Géométriquement, on peut dire que le point $~B~$ représente l'image du point $A$ par la similitude directe dont:
    • Le centre est: $~C$.
    • L'angle de rotation est: $~~e^{-i\frac{\pi}{6}}$
    • Le rapport est: $~~\sqrt{3}$