Bac France-Amérique du Nord mai 2007:
  1. Ecriture complexe de $r$:

    1. On a: $$r(z)-0=e^{i\frac{2\pi}{3}}(z-0)$$ Soit: $$\color{magenta}\boxed{~~r(z)=e^{i\frac{2\pi}{3}}z~~}$$
    2. On a: \begin{align*} z_C&=r(z_B)=e^{i\frac{2\pi}{3}}z_B\\ z_C&=e^{i\frac{2\pi}{3}}e^{-i\frac{5\pi}{6}} \end{align*} Soit: $$\color{magenta}\boxed{~~z_C=e^{-i\frac{\pi}{6}}}$$
    3. On a: \begin{align*} z_B&=e^{-i\frac{5\pi}{6}}=-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i\\ z_C&=e^{-i\frac{\pi}{6}}=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i \end{align*}
    4. Positionnement des points $~A,B,C~$:
    1. Le barycentre des points $~~(A;2),(B;-1) ~\text{ et }~ (C;2)~~$ est donné par: \begin{align*} z_D&=\dfrac{2z_A-z_B+2z_C}{2-1+2}\\ z_D&=\dfrac{2i-(-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i)+2(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i)}{3}\\ z_D&=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i \end{align*} Soit: $$\color{magenta}\boxed{~~z_D=e^{i\frac{\pi}{6}}~~}$$
    2. Les complexes $~~z_A,z_B,z_C ~\text{ et }~ z_D~~$ sont des complexes unité (de module 1) alors les points $~A,B,C ~\text{ et }~ D$ appartiennent au cercle unité.
  3. .
    1. Ecriture sous forme complexe de h:

      On a: $$h(z)=2(z-z_A)+z_A=2z-z_A$$ D'où: $$\color{magenta}\boxed{~~h(z)=2z-i~~}$$
    2. Calcul de $z_E$:

      \begin{align*} z_E&=h(z_D)\\ z_E&=2z_D-i\\ z_E&=2(\frac{\sqrt 3}{2}+\frac{1}{2}i)-i \end{align*} Soit: $$\color{magenta}\boxed{~~z_E=\sqrt 3~~}$$

    1. Nous avons: \begin{align*} \dfrac{z_D-z_C}{z_E-z_C}&=\dfrac{(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i)-(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i)}{\sqrt{3}-(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i)}\\\\ \dfrac{z_D-z_C}{z_E-z_C}&=\dfrac{i}{\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i}\\\\ \dfrac{z_D-z_C}{z_E-z_C}&=\dfrac{e^{i\frac{\pi}{2}}}{e^{i\frac{\pi}{6}}}\\\\ \dfrac{z_D-z_C}{z_E-z_C}&=e^{i(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{6})} \end{align*} Soit: $$\dfrac{z_D-z_C}{z_E-z_C}=e^{i\frac{\pi}{3}}$$
    2. le rapport ci dessus a pour module 1 et argument $\frac{\pi}{3}$:
      Conclusions immédiate:
      • $CD=CE$
      • L'angle: $\widehat{(\overrightarrow{CE},\overrightarrow{CD})}=\frac{\pi}{3}$
      On en déduit que le triangle $~CED~$ est équilatéral.