1. On a:
      $z_A=(2,\frac{7\pi}{6})\quad z_B=(2,\frac{10\pi}{6})\quad z_C=(2,\frac{\pi}{6})\quad z_D=(2,\frac{4\pi}{6})$
    2. Pour construire les points A,B,C et D sur le repĂšre $~~(O,\vec{u},\vec{v})~~$ on poursuit les Ă©tapes suivantes:
      • On trace Ă  l'aide du compas le cercle de centre O et de rayon 2
      • les points $~A,C~$ qui appartiennent au cercle et ayants respectivement pour ordonnĂ©e (-1) et 1.
        Ces informations suffisent pour les placer sur le cercle. il suffit de régler le compas sur un 1 cm, (à l'aide de la rÚgle) placer son 'aiguille' sur l'ordonné et trouver l'intersection avec le cercle.
      • De la mĂȘme maniĂšre les abcisses des points B et D respectivement (-1) et 1 suffisent pour les placer sur le cercle, toujours Ă  l'aide de la rĂšgle et du compas.

      Cercle et droite dans le plan complexe
      Représentation graphique (Geogebra)
    3. Le quadrilatÚre ABCD est carré inscrit sur le cercle $~~\mathcal{C}(O,2)~~$.
      Pour le justifier:
      • remarquer qu'on passe de $\overrightarrow{OA}(z_a)$ Ă  $\overrightarrow{OB}(z_b)$ par une rotation de centrer O et d'angles: $$\frac{\pi}{2}=\arg z_b-\arg z_a$$. Il en de mĂȘme pour B-C et C-D et D-A
      • ABCD est donc un quadrilatĂšre rĂ©gulier, inscrit sur le cercle.
      • Les angles aux sommets sont donc Ă©gaux Ă : $~(~\frac{2\pi}{4}=\frac{\pi}{2}~)$
      • Pour le clacul du cĂŽtĂ© du carrĂ©:
        géométrie élémentaire: $~~a=2\sqrt{2}$
        utiliser les nombres complexes: $a=|z_b -z_a|=|(1+\sqrt 3)+i(1-\sqrt 3)|=2\sqrt 2$

    1. Tracé des points $~E~$ et $~F~$:
      On a les remarques suivantes:
      • On a: $~BA=BE~$ ce qui montre que ABE est isocĂšle.
      • Rotation de centre B et d'angles $-\frac{\pi}{3}$ et donc: $$\widehat{(\overrightarrow {BE},\overrightarrow{BA})}=\frac{\pi}{3}$$
      • Ceci prouve que le triangle ABE est equilatĂ©ral
      Donc $~E~$ est sur la médiatrice De $~AB~$ e t $~AE=AB$
      Donc on peut trouver E facilement Ă  l'aide de la rĂšgle et du compas.
      Le mĂȘme raisonnement s'applique pour $F$ ( triangle $BCF$)
    2. Ecriture complexe de la rotation $r$:
      On a: $~~z'-z_B=e^{-i\frac{\pi}{3}}(z-z_B)$
      Et donc: $$z'=e^{-i\frac{\pi}{3}}z + z_B(1-e^{-i\frac{\pi}{3}})$$ Ce qui donne: $$~~z'=(\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2})z+(1-i\sqrt{3})(1-(\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}))$$ $$~~z'=(\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2})z+(1-i\sqrt{3})(\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}))$$ Soit: $$~\color{magenta}\boxed{~z'=\left(\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)z+2~~}$$
    3. DĂ©terminons maintenant l'affixe $~z_E~$ du point: $E=r(A)$:

      On a: \begin{align*} z_E&= \left(\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)z_A +2\\ z_E&=\frac{1}{2}\left(1-i\sqrt{3}\right)\left(-\sqrt{3}-i\right) +2\\ z_E&=\frac{1}{2}(2-2\sqrt{3})+2 \end{align*} Soit: $$\color{magenta} \boxed{~~z_E=(2-\sqrt{3})+i~~}$$