1. Cherchons tout d'abord le point fixe Ă©ventuel $~~z_0~~$ de la transformation.
    Ce dernier est défini par: $~~f(z)=z$
    C'est Ă  dire: $$\left(i-\sqrt{3}\right)z+[(3+\sqrt{3})+i(2\sqrt{3}+1)]=z$$ On obtient: \begin{align*} (1+\sqrt{3}-i)z&=(3+\sqrt{3})+i(2\sqrt 3 +1)\\ z&=\dfrac{[(3+\sqrt 3)+i(2\sqrt{3}+1)][(1+\sqrt{3})+i]}{(1+\sqrt{3})^2 + 1}\\ z&=\dfrac{(3+\sqrt{3})(1+\sqrt{3})-(2\sqrt{3}+1)+i[(3+\sqrt{3})+(2\sqrt{3}+1)(1+\sqrt{3})]}{5+2\sqrt{3}}\\ z&=\dfrac{(5+2\sqrt{3})+i(10+4\sqrt{3})}{5+2\sqrt{3}} \end{align*} Soit: $~~z_0=1+2i~~$.
    D'autre part: $$(i-\sqrt 3)=2\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i\right)=2e^{i\frac{5\pi}{6}}$$ La transformation $~f~$ donc une similitude directe est la composée:
    • d'une rotation de centre $~~A(1+2i)~~$ d'angle $~~\frac{5\pi}{6}~~$
    • et d'une homothĂ©tie de rapport 2 et de centre $~~A(1+2i)$
  2. On a: $f(z_0)=z_0$
    Et donc: $~~f(z)-f(z_0)=(i-\sqrt{3})(z-z_0)$
    Par la suite: $~~f(z)=z_0+(i-\sqrt{3})(z-z_0)$
    On en déduit: \begin{align*} f(z)&=(1+2i)+(i-\sqrt{3})((x-1)+i(y-2))\\ f(z)&=(1+2i)-\sqrt{3}(x-1)-(y-2)+i((x-1)-\sqrt{3}(y-2))\\ f(z)&=(1-\sqrt{3}x+\sqrt{3}-y+2)+i(2+x-1-\sqrt{3}y+2\sqrt{3})\\ f(z)&=(3+\sqrt{3}-\sqrt{3}x-y)+i(1+2\sqrt{3}+x-\sqrt{3}y) \end{align*} Soit: \begin{cases} x'&= 3+\sqrt{3}-\sqrt{3}x-y \\\\ y'&=1+2\sqrt{3}+x-\sqrt{3}y \end{cases}
  3. L'image par $f$ de cette droite est la droite passant $~~A'~~$ d'affixe $~~f(1-2\sqrt{3})~~$ et de vecteur directeur d'affixe $~~(i-\sqrt{3})(\sqrt{3}+i)~~$.
    Et on a: \begin{cases} f(1-2\sqrt{3})=9+2i \\\\ (i-\sqrt{3})(\sqrt{3}+i)=-4=4e^{i\pi} \end{cases} La droite recherchée est donc celle passant par $~~A'(9+2i)~~$ et parallÚle à l'axe des abscisses.