- On a: \begin{align*} Z&=\dfrac{z-2i}{z-1}\\ Z&=\dfrac{(z-2i)}{(\bar{z}-1)}\\ Z&=\dfrac{(z-2i)(\bar{z}-1)}{|z-1|^2}\\ Z&=\dfrac{|z|^2-z-2i\bar{z}+2i}{(x-1)^2+y^2}\\ Z&=\dfrac{(x^2+y^2)-(x+iy)-2i(x-iy)+2i}{(x-1)^2+y^2}\\ Z&=\dfrac{x^2+y^2-x-2y+i(-y-2x+2)}{(x-1)^2+y^2}\\ \end{align*} Soit: \begin{cases} x'&=\dfrac{x^2+y^2-x-2y}{(x-1)^2+y^2}\\\\ y'&=\dfrac{-y-2x+2}{(x-1)^2+y^2} \\ \end{cases}
- $Z~~$ est un nombre réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle.
C'est à dire: $$y+2x-2=0\qquad (\mathcal{D})$$ C'est la droite, $(\mathcal D)$ ci dessus définie, privée du point (1,0) (qui annule le dénominateur)
- $Z\geq 0~~$ si en plus on a: $~~x'\geq 0$
Autrement dit: $$x^2+y^2-x-2y\geq 0$$
Soit: $$\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+(y-1)^2\geq \left(\dfrac{\sqrt 5}{2}\right)^2$$
L'ensemble recherché est la partie de la droite externe au disque de centre
$~~A=\left(\frac{1}{2},1\right)~$ (Remarquer que $~~A\in\mathcal{D}~$), et de rayon $~~r=\frac{\sqrt{5}}{2}$
Représentation de la droite (D) et du cercle de centre A. - On a: $$\arg Z=\frac{\pi}{2} \Longleftrightarrow y'>0\quad \text{et}\quad x'=0$$
On en déduit:
$x'=0\Longleftrightarrow M(z)\in\mathcal{C}(A,r)~~$ (~Cercle de centre $~~A~~$ et de rayon $~~r$~)
$y'>0\Longleftrightarrow y+2x-2<0~~$ c'est l'Ă©quation de demi plan en dessous de la droite $~~\mathcal{D}$
Cherhons l'intersection du cercle $\mathcal{C}$ et de la droite $\mathcal{D}$
$y+2x-2=0\Rightarrow (y-1)=-2(x-\frac{1}{2})$
Et donc:
$(x-\frac{1}{2})^2+(y-1)^2=\dfrac{5}{4}\Longrightarrow 5(x-\frac{1}{2})^2=\frac{5}{4}$
Soit: $~~x=0~,~~1~~$ et donc: $~~y=2~,~0$
Les points d'intersection sont alors: $~~C(0,2)~~$ et $~~B(1,0)~~$
et On a: $~~BC=\sqrt{5}=2r~~$
Donc l'ensemble des points recherchĂ© est le demi cercle $~~\mathcal{C}(A,r)~$ en dessous de la droite $~~\mathcal{D}$ - On a: \begin{align*} |Z|^2&=\left(\dfrac{z-2i}{z-1}\right)\left(\dfrac{\bar z+2i}{\bar z-1}\right)\\ |Z|^2&=\left(\dfrac{|z|^2+2i(z-\bar z)+4}{|z-1|^2}\right)\\ |Z|^2&=\left(\dfrac{(x^2+y^2)+2i(2iy)+4}{(x-1)^2+y^2}\right)\\ |Z|^2&=\left(\dfrac{x^2+y^2-4y+4}{(x-1)^2+y^2}\right)\\ \end{align*} On en dĂ©duit: $$|Z|^2=4 \Longleftrightarrow x^2+y^2-4y+4=4(x-1)^2 + 4y^2$$ En simplifiant on trouve: $$x^2+y^2-\dfrac{8}{3}x+\dfrac{4}{3}y=0$$ Ou de maniĂšre plus parlante: $$\left(x-\dfrac{4}{3}\right)^2+\left(y+\dfrac{2}{3}\right)^2=\dfrac{20}{9}$$ C'est l'Ă©quation du cercle $~~\mathcal{C}(D,\frac{2\sqrt 5}{3})~~$ oĂč $~~D(\frac{4}{3},-\frac{2}{3})$
- $Z~~$ est un nombre réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle.