- On a:
$$~~z=1+i\sqrt{3}=2\left(\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$$
Soit:
$z=2\alpha~~$ avec: $~~\alpha=e^{i\frac{\pi}{3}}$
Donc: $~~|z|=2 ~~$ et $~~\arg z=\dfrac{\pi}{3}$
- Les points d'affixes $~~z,~-z,~z^2,~\dfrac{2}{z}\quad$ appartiennent à un même cercle (points cocycliques)
si et seulement si: $$R=\left(\dfrac{z^2-z}{z^2+z}\right)\div \left(\dfrac{\frac{2}{z}-z}{\frac{2}{z}+z}\right)$$ est un nombre négatif.
En outre on remarque que: $~~\alpha^3=-1~$
Et donc: $$\alpha^3+1=(\alpha + 1)(\alpha^2-\alpha + 1)=0$$ Ce qui implique: $$\alpha^2-\alpha + 1=0\quad \text{car:}\quad \alpha\neq -1$$ Par la suite: \begin{align*} R&=\left(\dfrac{z^2-z}{z^2+z}\right)\div \left(\dfrac{(2/z)-z}{(2/z)+z}\right)\\ R&=\left(\dfrac{z-1}{z+1}\right)\left(\dfrac{(2/z)+z}{(2/z)-z}\right)\\ R&=\left(\dfrac{z-1}{z+1}\right) \left(\dfrac{2+z^2}{2-z^2}\right)\\ R&=\left(\dfrac{2\alpha-1}{2\alpha+1}\right) \left(\dfrac{2+4\alpha^2}{2-\alpha^2}\right)\\ R&=\left(\dfrac{2\alpha-1}{2\alpha+1}\right) \left(\dfrac{1+2\alpha^2}{1-2\alpha^2}\right)\\ R&=\left(\dfrac{2\alpha-1}{2\alpha+1}\right) \left(\dfrac{1+2(\alpha-1)}{1-2(\alpha-1)}\right)\qquad \text{car:}\quad (\alpha^2=\alpha-1)\\ R&=\left(\dfrac{2\alpha-1}{2\alpha+1}\right) \left(\dfrac{2\alpha-1}{-2\alpha+3}\right)\\ R&=\left(\dfrac{4\alpha^2-4\alpha+1}{-4\alpha^2+4\alpha+3}\right)\\ R&=\left(\dfrac{-4+1}{4+3}\right)\qquad\text{car:}\quad (4\alpha^2-4\alpha=-4) \end{align*} On en déduit: $~~R=-\dfrac{3}{7}<0$
Conclusion:
les points d'affixes $~~z~,~ -z~,~z^2~,~~\text{et}~~\dfrac{2}{z}~~$ appartiennent à un même cercle. - Soit $~~\mathcal{C}(A(a),r)~~$ le cercle contenant les points d'affixes: $~~z~,~-z~,~z^2~,~\frac{2}{z}~~$.
On a donc: $$~~|a-z|=|a+z|=|a-z^2|=|a-\dfrac{2}{z}|=r$$ L'identité du parallélogramme donne: $$2r^2=|a-z|^2+|a+z|^2=2(|a|^2+|z|^2)$$ Ce qui donne une première équation: $$|a|^2+|z|^2=r^2\qquad (1)$$ D'autre part: $$r^2=|a-z|^2=(a-z)(\bar{a}-\bar{z})= |a|^2+|z|^2 -(\bar{z}a+z\bar{a})$$ Soit en tenant compte de $~~(1)$: $$\bar{z}a+z\bar{a}=0\qquad (2)$$ En outre: $$r^2=|a-z^2|=|a|^2+|z|^4-(\overline{z^2}a+z^2\bar{a})$$ Par la suite: $$\overline{z^2}a+z^2\bar{a}=|z|^2-|z|^4=4-16=-12$$ On obtient une troisième équation: $$\overline{z}^2a+z^2\bar{a}=-12\qquad (3)$$ Ainsi on obtient le système d'équation: $$\begin{cases} \bar{z}a+z\bar{a}=0\\\overline{z}^2a+z^2\bar{a}=-12 \\ \end{cases}$$ En multipliant la première équation par $~~z~~$ et en soustrayant la deuxième equation: $$(z\bar{z}a+z^2\bar{a})-(\overline{z}^2a+z^2\bar{a})=12$$ Soit: \begin{align*} a&=\dfrac{12}{4-\bar{z}^2}\\ a&=\dfrac{12}{4-4\bar{\alpha}^2}\\ a&=\dfrac{3}{1-\bar{\alpha}^2}\\ a&=\dfrac{3\bar{\alpha}}{\bar{\alpha}+1}\\ a&= \dfrac{3\bar{\alpha}(\alpha+1)}{|\bar{\alpha}+1|^2} \end{align*} D'autre part: \begin{align*} 3\bar{\alpha}(\alpha +1)&=3+3\bar{\alpha}\\ |1+\alpha|^2&=1+|\alpha|^2+(\alpha +\bar{\alpha})=2+2\Re(\alpha)\\ |1+\alpha|&=3 \end{align*} On en déduit: $$a=\dfrac{3+3\bar{\alpha}}{3}=1+\bar{\alpha}$$ Soit: $$a=\dfrac{3}{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}e^{-(i\frac{\pi}{6})}$$ Ce qui donne: $$|a|=\sqrt{3}$$ Le rayon de cercle est donc: $$r^2=|a|^2+|z|^2=3+4$$ Soit: $$~~r=\sqrt 7$$