1. Soient: $$\alpha=a+ib \qquad \text{et}\qquad \beta=c+id$$ On a: \begin{cases} \alpha +\beta &=(a+b)+i(c+d) \\\\ \alpha \beta &=(ac-bd)+i(ad+bc) \end{cases} Et donc:

    $\Bbb Z[i]$ est stable pour l'addition et la multiplication

  2. Soit $~~\alpha=a+ib~~$ un élément inversible de $\mathbb Z$ $[i]~$ et $~\beta=c+id~~$ son inverse.

    Par la suite: $$\alpha \beta=1\Rightarrow |\alpha\beta|^2=|\alpha|^2 |\beta|^2=(a^2+b^2)(c^2+d^2)=1$$ On obtient: $$(a^2+b^2=1)\qquad \text{et}\qquad (c^2+d^2=1)$$ Ce qui implique: $$(a,b)=(1,0),(-1,0),(0,1),(0,-1)$$ Donc les éléments inversibles de $~\mathbb Z[i]~$ sont: $$~~ 1,~ -1,~i,~-i$$
  3. On pose:

    $~~w=w_1+iw_2\in\mathbb C~~$ et $~~\alpha=\alpha_1 +i\alpha_2\in \mathbb{Z}[i]$

    Soit $~\alpha_1~$ (resp $~\alpha_2~$) l'entier le plus proche $~w_1~$ (resp. de $w_2$ )

    On a donc: \begin{cases} |w_1-\alpha_1|\leq\dfrac{1}{2}\\\\ |w_2 - \alpha_2|\leq\dfrac{1}{2} \\ \end{cases} Dans ce cas on aura: $$~~|w-\alpha|=\sqrt{(w_1-\alpha_1)^2+(w_2-\alpha_2)^2}\leq\sqrt{\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(\dfrac{1}{2}\right)^2}$$ Par conséquent: $$~~|w-\alpha|<1$$
  4. Posons: $$~~w=\dfrac{\alpha}{\beta}$$ Le question précédente nous garantie l'existence de $~~q\in \mathbb{Z}[i]$
    tel que: $$|w-q|<1$$ Posons: $$~~r'=w-q=\dfrac{\alpha}{\beta}-q$$ On obtient: $$~~\alpha=\beta q +\beta r'$$ Si on pose: $~r=\beta r'~$ alors on a: $$|r|=|\beta r'|=|\beta||r'|=|\beta||w-q|<|\beta|$$ Donc: $$|r|<|\beta|$$ D'autres part: $$~~r=(\alpha-\beta q)\in \mathbb{Z}[i]~~ (\text{ puisque }~ \alpha,\beta ~~\text{et}~~ q~~ \text{le sont})$$ Donc: $$\alpha=\beta q +r\qquad\text{ avec:}\qquad|r|<|\beta|$$
    Question supplémentaire:
    Effectuer la division euclidienne dans l'anneau $~Z[i]~$ de $(~\alpha=11+7i)~$ par $~(\beta=3-2i.)~$
    Trouver $~(q,r)~$ en suivant la démarche de l'exercice.
    Le couple $~(q,r)~$ est-il toujours unique? Justifier votre réponse.