- $~~(z_1,z_2,z_3)~~$ sont deux deux distincts tels que : $$~~z_1^3=z_2^3=z_3^3$$ Si on pose $~~j=e^{i\frac{2\pi}{3}}~~$ Alors on doit avoir: $$\{z_1,z_2,z_3\}=\{z_1,jz_1,j^2z_1\}~~$$ Supposons sans perte de généralité que l'on a: $$ z_2=jz_1\qquad \text{et}\qquad z_3=j^2z_1$$
- On cherche à résoudre l'équation:
$$z^6+(7-i)z^3-(8+8i)=0$$
En posant $~Z=z^3~$ l'Ă©quation devient:
$$Z^2+(7-i)Z-(8+8i)=0$$
le discriminant:
$$\Delta=(7-i)^2+4(8+8i)=80+18i$$
Soit:
$$\Delta=(9+i)^2$$
On en déduit:
\begin{cases} Z_1=\dfrac{-(7-i)-(9+i)}{2}\\\\ Z_2=\dfrac{-(7-i)+(9+i)}{2} \\
\end{cases}
Soit:
\begin{cases} Z_1=-8\\\\Z_2=1+i=\sqrt{2}~e^{i\frac{\pi}{4}} \\
\end{cases}
On obtient deux Ă©quations:
\begin{cases}
Z_1=z^3=-8\\\\
Z_2=z^3=\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}} \\
\end{cases}
La premiĂšre Ă©quation admet les racines suivantes:
\begin{cases}
z_1=-2\\\\ z_2=-2j\\\\z_3=-2j^2
\end{cases}
La deuxiĂšme Ă©quation $~~Z_2=z^3=\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}~~$ admet les racines suivantes:
\begin{cases}
z_4=2^{\frac{1}{6}}~e^{i\frac{\pi}{12}}\\\\
z_5=jz_4 \\\\
z_6=j^2z_4
\end{cases}
Ce qui implique:
\begin{cases}
z_4=2^{\frac{1}{6}}~e^{i\frac{\pi}{12}}\\\\
z_5=2^{\frac{1}{6}}~e^{i\frac{3\pi}{4}} \\\\
z_6=2^{\frac{1}{6}}~e^{i\frac{17\pi}{12}}
\end{cases}
RĂ©capitulation:
l'ensemble S des racines de l'Ă©quation est: $$S=\{-2,-2j,-2j^2,~2^{\frac{1}{6}}~e^{i\frac{\pi}{12}}~,~2^{\frac{1}{6}}~e^{i\frac{3\pi}{4}}~,~2^{\frac{1}{6}}~e^{i\frac{17\pi}{12}} \}$$
Remarque: - $e^{\frac{\pi}{12}}=e^{i\frac{\pi}{3}}~e^{-i\frac{\pi}{4}}$
- $j=-\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt 3}{2}$
- $e^{i\frac{17\pi}{12}}=e^{i\frac{3\pi}{2}}~e^{-i\frac{\pi}{12}}$
Le lecteur pourra retrouver les formes algébriques comme suit: