- On a: $$\overline{U}=\bar z +\bar z^2 +\bar z^4=\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{z^2} + \dfrac{1}{z^4}=z^6+z^5+z^3=V$$ On a donc: $$~~\overline{U}=V$$
- On a: $$\Im(U)=\dfrac{U-\overline{U}}{2i}=\dfrac{1}{2i}\left( (z-\dfrac{1}{z}) + (z^2-\dfrac{1}{z^2}) + (z^4-\dfrac{1}{z^4})\right)$$ Et donc: $$\Im(U)=\Im(z)+\Im(z^2)+\Im(z^4)$$ Par la suite: $$\Im(U)=\left(~\sin\left(\frac{2\pi}{7}\right)+\sin\left(\frac{4\pi}{7}\right)+\sin\left(\frac{8\pi}{7}\right)~\right)$$ Et puisque: $$\begin{cases} \sin(\frac{8\pi}{7})=-\sin(\frac{\pi}{7})\\\sin(\frac{2\pi}{7})>\sin(\frac{\pi}{7})\\\sin(\frac{4\pi}{7})>0 \end{cases}$$ Par la suite: $$~~\Im(U)=\left(~\left(\sin\left(\frac{2\pi}{7}\right)-\sin\left(\frac{\pi}{7}\right)~\right)+\sin\left(\frac{4\pi}{7}\right)~\right)>0$$
- Calcul de $U+V$ et $UV$
$$U\times V=U\times \overline{U}=|U|^2=|U^2|$$ Or: \begin{align*} U^2&=(z+z^2+z^4)^2\\ U^2&=z^2+z^4+z^8+2z^3+2z^5+2z^6\\ U^2&=(z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6)+(z_3+z_5+z_6)\\ \end{align*} Soit: $$U^2=-1+V\qquad (1)$$ De mĂȘme on a: \begin{align*} V^2&=\overline{U^2}\\ V^2&=\overline{(-1+V)}\\ \end{align*} Soit: $$V^2=-1+U\qquad (2)$$ Multiplions membre Ă membre $(1)$ et $(2)$: $$ (UV)^2=1-(U+V)+UV=2+UV$$ Soit: $$(UV-2)(UV+1)=0$$ On en dĂ©duit: $$~UV=2~$$ car $~UV=|U|^2~$ (et donc positif).
On a donc: \begin{cases} U+V=-1\\\\ UV=2\\ \end{cases} $U~$ et $~V~$ sont solution de l'Ă©quation quadratique: $$x^2+x+2=0$$: Le discriminant est: $~\Delta=-7$.
Et puisque: $~~\Im(U)>0~~$ alors:
\begin{cases} U=\dfrac{-1+i\sqrt{7}}{2}\\\\V=\dfrac{-1-i\sqrt{7}}{2} \\ \end{cases}